Question

14．2011年7月11日23时41分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭，成功将“天链一号02星”送入太空．火箭飞行约26分钟后，西安卫星测控中心传来的数据表明，星箭分离，卫星成功进入地球同步转移轨道．“天链一号02星”是我国第二颗地球同步轨道数据中继卫星，又称跟踪和数据中继卫星，由中国航天科技集团公司所属中国空间技术研究院为主研制．中继卫星被誉为“卫星的卫星”，是航天器太空运行的数据“中转站”，用于转发地球站对中低轨道航天器的跟踪测控信号和中继航天器发回地面的信息的地球静止通信卫星．（$\root{3}{0.4}$=0.7）
（1）已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，地球自转周期T=24h，请你估算“天链一号02星”的轨道半径为多少？（结果保留一位有效数字）
（2）某次有一个赤道地面基站发送一个无线电波信号，需要位于赤道地面基站正上方的“天链一号02星”把该信号转发到同轨道的一个航天器，如果航天器与“天链一号02星”处于同轨道最远可通信距离的情况下，航天器接收到赤道地面基站的无线电波信号的时间是多少？已知地球半径为R，地球同步卫星轨道半径为r，无线电波的传播速度为光速c．

Answer 1

分析 （1）同步卫星的周期已知，根据卫星所受万有引力提供向心力，在地球表面万有引力和重力相等，由此可以计算出同步卫星的轨道半径r；
（2）求信号传输时间，需要确定信号传输的距离，需要由题意画出传输示意图，根据几何关系得传输距离，由$t=\frac{s}{v}$可得信号传输的时间．

解答 解：（1）由题意知“天链一号02星”是地球同步卫星，周期T=24h，卫星在运行过程中受地球的万有引力提供向心力，令地球质量为M，卫星质量为m，卫星轨道半径为r，地球半径为R，则有
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$
得卫星运动轨道半径r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$         ①
又因为地球表面重力等于万有引力，即满足$mg=G\frac{mM}{{R}^{2}}$得地球质量为$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$     ②
把②代入①得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{10×（6400×1{0}^{3}）^{2}×（24×3600）^{2}}{4×（3.14）^{2}}}m$≈4×10⁷m．
（2）

“天链一号02星”与同轨道的航天器的运行轨道都是同步卫星轨道，所以“天链一号02星”与同轨道的航天器绕地球运转的半径为r
“天链一号02星”与航天器之间的最远时的示意图如图所示．由几何知识可知：“天链一号02星”与航天器之间的最远距离
$S=2\sqrt{{r^2}-{R^2}}$
无线电波从发射到被航天器接收需要分两步．首先
赤道地面基站A发射的信号被中继卫星B接收，信号传输距离为r-R，则信号传输时间
${t_1}=\frac{r-R}{c}$
然后中继卫星B再把信号传递到同轨道的航天器C，信号传输距离$S=2\sqrt{{r^2}-{R^2}}$，则信号传输时间为
${t_2}=\frac{S}{c}=\frac{{2\sqrt{{r^2}-{R^2}}}}{c}$
所以共用时：$t={t_1}+{t_2}=\frac{r-R}{c}+\frac{{2\sqrt{{r^2}-{R^2}}}}{c}$
答：（1）轨道半径r=4×10⁷m
（2）航天器接收到赤道地面基站的无线电波信号的时间是$t=\frac{r-R}{c}+\frac{2\sqrt{{r}^{2}-{R}^{2}}}{c}$．

点评 万有引力提供圆周运动的向心力、万有引力和表面的重力大小相等，能根据题设条件列方程求解，信号传输的时间需要正确的画出信号传输的示意图，根据几何关系求出传输距离，然后求得时间．