Question

（2011?重庆模拟）如图所示，光滑绝缘水平面上方有匀强电场E（图中未画出）．在O点用长为L的轻质不可伸长的绝缘细绳系一质量m=0.02kg、带正电且电荷量q=4×10^-4C的小球A，使其在竖直平面内以速度v_A=2m/s沿顺时针方向做匀速圆周运动，运动到最低点时与地面刚好不接触．质量和电量与A完全相同的小球B以速度v_B=10m/s 水平向右运动且恰好能与A球在最低点发生正碰，并瞬间成为一个整体C （ A、B、C均可以看作质点且与地面刚好不接触），碰后匀强电场大小立即变为E′=

3

E，方向变为水平向右方向．（不考虑 A、B 两小球间库仑力作用）取g=10m/s²．求：
（ 1 ）匀强电场的电场强度E的大小和方向；
（ 2 ）A、B两小球正碰成为一个整体C的速度大小；
（ 3 ）要使整体C在随后的运动过程中，能在竖直面内作完整的圆周运动，绳长L应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）对小球受力分析，受到重力、电场力和绳子的拉力，由于小球A在竖直平面内做匀速圆周运动，故重力和电场力做的总功一直为零，故重力和电场力平衡，拉力提供向心力；
（2）根据动量守恒定律列式求解即可；
（3）要使整体C在随后的运动过程中，能在竖直面内作完整的圆周运动，临界条件是通过重力场和电场的复合场的最高点时，重力和电场力的合力恰好提供向心力，然后根据牛顿第二定律、动能定理列方程联立求解．

解答：解：（1）小球A在竖直平面内做匀速圆周运动，所以受到的电场力与重力大小相等、方向相反，即有
qE=mg
解得E=500N/C
A球受到的电场力竖直向上，则电场方向竖直向上
即匀强电场的电场强度E的大小为500N/C，方向为竖直向上．
（2）设AB碰撞后瞬间整体C带电量为Q，质量为M，速度为V
Q=2q=8×10^-4C，M=2m=0.04kg
由动量守恒，得到 mv_A-mv_B=MV
解得V=4m/s
即A、B两小球正碰成为一个整体C的速度大小为4m/s．
（3）对C受力情况分析可知：C受电场力和重力的合力为恒力F，大小为F=2Mg，方向与竖直方向夹角为60°，其等效最高点为P点，即PO与竖直方向夹角为60°，F沿着PO方向．

要使整体C在随后的运动过程中，能在竖直面内做完整的圆周运动，需C能通过P点，设绳子对C弹力为T，根据向心力公式，有
F+T=M

v 2 P

L

T≥0
得到vP≥

2gL

C由水平面运动到P点过程，根据动能定理，得到：
-Mg

3L

2

-QE′

3

2

L=

1

2

M

v

2 p

-

1

2

Mv2
解得：L≤0.2m
即绳子长度L应该满足的条件：0＜L≤0.2m．

点评：本题关键是分析清楚各个小球的运动规律，然后根据牛顿第二定律和动能定理列方程联立求解；难点在于将重力场和电场看作一个复合场进行处理，切入点在于小球恰好通过复合场的最高点．