Question

19．2016年10月19日凌晨，神舟十一号载人飞船与天官二号对接成功．两者对接后一起绕 地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G．下列说法正确的是（　　）

• A． 对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天官二号实现对接
• B． 对接后，飞船的线速度大小为$\frac{2πkR}{T}$
• C． 对接后，飞船的加速度大小为$\frac{g}{（1+k）^{2}}$
• D． 地球的密度为$\frac{3π（1+k）^{2}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，万有引力提供向心力，得出对接成功后的加速度．根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出地球的质量，结合密度公式求出地球密度．

解答 解：A、对接前，飞船在前，如果自身减速，在原轨道上万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，轨道半径变小，不能实现对接，故A错误；
B、对接后，轨道半径r=R+kR=（1+k）R，飞船的线速度$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2π（1+k）R}{T}=\frac{2πR（1+k）}{T}$，故B错误；
C、在地球表面附近，根据重力等于万有引力，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$；对接后，根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（1+k）_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}=\frac{g}{（1+{k}_{\;}^{2}）}$，故C正确；
D、根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+kR）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（1+k）_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（1+k）_{\;}^{3}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（1+k）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D错误；
故选：C

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用