题目内容
15．
如图所示，为一磁约束装置的原理图，同心圆圆心O与xOy平面坐标系原点重合，半径为R0的圆形区域Ⅰ内有方向垂直于xOy平面向里的匀强磁场，一束质量为m，电荷量为q，动能为E0的带正电粒子从坐标为（0、R0）的A点沿y负方向射入磁场区域Ⅰ，粒子全部经过坐标为（0、R0）的P点，方向沿x轴正方向．当在环形区域Ⅱ加上方向垂直于xoy平面向外的另一匀强磁场时，上述粒子仍从A点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，所有粒子恰好能够约束在环形区域内，且经过环形区域Ⅱ的磁场偏转后第一次沿半径方向从区域Ⅱ射入区域Ⅰ时经过内圆周上的M点（M点未画出），不计重力和粒子间的相互作用．（1）区域Ⅰ中磁感应强度B1的大小；
（2）若环形区域Ⅱ中磁场强度B2=$\sqrt{3}$B1，求M点坐标及环形外圆半径R；
（3）求粒子从A点沿y轴负方向射入圆形区域Ⅰ至再次以相同速度经过A点的过程所通过的总路程．
分析 （1）由题设条件就能求出粒子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力就能求出Ⅰ区磁场的磁感应强度大小．
（2）进入Ⅱ后，粒子恰好约束在该区，画出粒子运动轨迹，由两区域内磁场的关系，找到在Ⅱ区内做匀速圆周运动的半径，再由几何关系求得粒子在Ⅱ区内转过的圆心角，从而再由几何关系就能求出M点的坐标和环形的外圆半径．
（3）先找出从A点出发，经过Ⅰ、Ⅱ区的正反两次偏转再次进入Ⅰ区时，相对OA方向偏转的角度，若经过m次偏转时，粒子第一次经过A点，此时转过m周，列出方程，解出整数解，那么总路程就是m倍的一次偏转的路程．
解答 解：（1）由题意，粒子在区域Ⅰ内从A点做匀速圆周运动到P点，显然r1=R0
且 $q{B}_{1}{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{1}}$ 而 ${E}_{0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
所以 ${B}_{1}=\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{q{R}_{0}}$
（2）粒子进入环形区域Ⅱ后做顺时针方向匀速圆周运动，则有
$q{B}_{2}{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{2}}$
由题设条件：B2=$\sqrt{3}$B1，得到：r2=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{0}$
画出粒子在Ⅱ区内做匀速圆周运动的轨迹如图所示
由几何关系确定，∠POM=60° 于是M点的坐标为
xM=R0cos60°=$\frac{1}{2}{R}_{0}$
yM=-R0sin60°=$-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{0}$
则M点的坐标为（$\frac{1}{2}{R}_{0}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{0}$）
由几何关系外环的半径R=r2+2r2=3r2=$\sqrt{3}{R}_{0}$
（3）粒子在Ⅰ区域和Ⅱ区域两次偏转后，从M点再次进入Ⅰ区域时，圆心角转过150°，设经
过m次这样的偏转后第一次从A点再交入射，此时圆心角转过n个360°，则有：
150m=360n （m、n取正整数），解得：m=12，n=5．
而粒子在Ⅰ、Ⅱ区偏转一次通过的路程s1=$\frac{1}{4}×2π{r}_{1}+\frac{2}{3}×2π{r}_{2}$=$（\frac{1}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{9}）π{R}_{0}$
所以经过12次如此偏转后第一次通过A点，则总路程为S=12s=$（6+\frac{16\sqrt{3}}{3}）π{R}_{0}$
答：（1）区域Ⅰ中磁感应强度B1的大小为$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{q{R}_{0}}$．
（2）若环形区域Ⅱ中磁场强度B2=$\sqrt{3}$B1，M点坐标为（$\frac{1}{2}{R}_{0}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}_{0}$）及环形外圆半径R为$\sqrt{3}{R}_{0}$．
（3）求粒子从A点沿y轴负方向射入圆形区域Ⅰ至再次以相同速度经过A点的过程所通过的总路程为$（6+\frac{16\sqrt{3}}{3}）π{R}_{0}$．
点评 本题是由磁约束装置编制的好题，粒子在方向相反的磁场Ⅰ、Ⅱ内做匀速圆周运动，由在Ⅰ区内的做匀速圆周运动的半径，求出在Ⅰ区内的磁感应强度大小；由于粒子恰好被约束在Ⅱ区内，则轨迹应外环相切，由几何关系和磁感应强度大小关系从而能求出外环的半径；第三问涉及到解整数解问题，要找一个相对OA方向偏转的角度，列二元方程，解整数解就能求出总路程．
2016年10月19日凌晨，神舟十一号载人飞船与天官二号对接成功．两者对接后一起绕 地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G．下列说法正确的是（ ）| A． | 对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天官二号实现对接 | |
| B． | 对接后，飞船的线速度大小为$\frac{2πkR}{T}$ | |
| C． | 对接后，飞船的加速度大小为$\frac{g}{（1+k）^{2}}$ | |
| D． | 地球的密度为$\frac{3π（1+k）^{2}}{G{T}^{2}}$ |
如图所示，竖直平行线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，MN上O处的粒子源能沿不同方向释放比荷为$\frac{q}{m}$的带负电粒子，速度大小相等，方向均垂直磁场，粒子间的相互作用及重力不计，设粒子速度方向与射线OM夹角为θ，当粒子沿θ=60°射入时，恰好垂直PQ射出，则（ ）| A． | 从PQ边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为$\frac{πm}{3qB}$ | |
| B． | 沿θ=120°射入的粒子，在磁汤中运动的时间最长 | |
| C． | 粒子的速度为$\frac{aqB}{m}$ | |
| D． | PQ边界上由粒子射出的长度为2$\sqrt{3}$a |
| A． | 质点做曲线运动，质点的速度方向一定与加速度方向相同 | |
| B． | 平抛运动是匀变速曲线运动 | |
| C． | 合速度的大小一定大于分速度的大小 | |
| D． | 做平抛运动的物体落地时瞬时速度的大小只由运动时间决定 |
如图所示，在铁心P上绕着两个线圈M和N，在t1到t2这段时间内，线圈N中没有产生感应电流，则反映线圈M中的电流与时间的关系图象，其中，正确的是（ ）
| A． | 电压表的示数为11$\sqrt{2}$V | B． | 电流表的示数为$\sqrt{2}$A | ||
| C． | 闭合开关S后，电压表示数变大 | D． | 闭合开关S后，电流表示数变大 |
在一次学校田径运动会上，小明同学以背越式成功地跳过了1.90米的高度，打破校运动会记录，如图，若忽略空气阻力，g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）| A． | 小明下降过程中处于失重状态 | |
| B． | 小明起跳以后在上升过程中处于失重状态 | |
| C． | 小明起跳时地面对他的支持力大于他的重力 | |
| D． | 小明起跳以后在下降过程中重力消失了 |
| A． | 运行速度大于第一宇宙速度 | |
| B． | 属于完全失重状态，加速度为0 | |
| C． | 属于完全失重状态，加速度不为0，但小于地表重力加速度 | |
| D． | 属于完全失重状态，加速度不为0，但小于赤道上物体的向心加速度 |
| A． | 一种元素具有放射性，与它是以单质还是化合物存在无关 | |
| B． | 轴块体积大于临界体积是发生链式反应的条件之一 | |
| C． | 14C（碳14）衰变可以用来进行物质年代的测定 | |
| D． | 一束α射线射向验电器上端的金属球，原来带正电而有一定张角的金属箔的角度将变得更大 |