Question

11．如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ为理想边界，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度均为B，方向分别垂直纸面向里和向外．一个质量为m，电量为q的带电小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入场区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g．
（1）试判断小球所带电性并求出电场强度的大小E；
（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，求释放时距MN的高度h₀；
（3）若小球释放时距MN的高度kh₀，求小球运动到最高点时距释放点的距离x．

Answer 1

分析 （1）根据小球所受电场力的方向与场强方向的关系判断小球电性，根据电场力与重力的关系求出电场强度大小．
（2）由机械能守恒定律求出小球进入磁场时的速度，小球在磁场中做匀速圆周运动，作出小球的运动轨迹，由几何知识求出轨道半径，应用牛顿第二定律分析答题．
（3）若小球释放时距MN的高度kh₀，得到轨迹半径，根据几何知识求出小球第一次返回最高点距释放点的距离，再根据周期性解答．

解答 解：（1）小球进入电磁场后恰好能做匀速圆周运动，则重力与电场力平衡，由洛伦兹力提供向心力，
重力竖直向下，则电场力竖直向上，而电场强度向上，电场力方向与场强方向相同，则小球带正电；
由电场力与重力大小相等，得：qE=mg
则电场强度：E=$\frac{mg}{q}$
（2）带电小球进入磁场前做自由落体运动，由机械能守恒定律得：
mgh₀=$\frac{1}{2}$mv²
小球在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为R，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由于小球在Ⅰ、Ⅱ两个区域运动过程中q、v、B、m的大小不变，则三段圆周运动的半径相等，以三个圆心为顶点的三角形为等边三角形，边长为2R，内角为60°，如图所示，由几何知识可得：
R=$\frac{d}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
解得：h₀=$\frac{2{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}{3{m}^{2}g}$
（3）若小球释放时距MN的高度kh₀，可得：
R′=$\sqrt{k}$R=$\frac{2\sqrt{3k}}{3}d$
小球第一次返回最高点距释放点的距离为：
x₁=2R′-4$\sqrt{R{′}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{4}{3}（\sqrt{3k}-\sqrt{12k-9}）d$
显然，要求k＞$\frac{3}{4}$，否则小球画一个半圆返回到O同高处，又由周期性，得小球运动到最高点距释放点的距离为：
x=$\left\{\begin{array}{l}{n{x}_{1}=\frac{4}{3}（\sqrt{3k}-\sqrt{12k-9}）nd，当k＞\frac{3}{4}时}\\{2nR′=\frac{4}{3}\sqrt{3k}nd，当k≤\frac{3}{4}时}\end{array}\right.$（n=1，2，3，…）
答：（1）小球带正电，电场强度的大小E为$\frac{mg}{q}$；
（2）若带电小球运动一定时间后恰能回到O点，释放时距MN的高度h₀是$\frac{2{q}^{2}{B}^{2}{d}^{2}}{3{m}^{2}g}$．
（3）若小球释放时距MN的高度kh₀，小球运动到最高点时距释放点的距离x是：x=$\left\{\begin{array}{l}{n{x}_{1}=\frac{4}{3}（\sqrt{3k}-\sqrt{12k-9}）nd，当k＞\frac{3}{4}时}\\{2nR′=\frac{4}{3}\sqrt{3k}nd，当k≤\frac{3}{4}时}\end{array}\right.$（n=1，2，3，…）．

点评 本题考查了带电小球在磁场中的运动，分析清楚小球的运动过程，作出小球的运动轨迹、应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、功的计算公式即可正确解题；分析清楚运动过程、作出小球运动轨迹是正确解题的关键．