Question

16．甲、乙两车在同一水平公路上沿同一方向做直线运动，某时刻起，甲以初速度v_甲=16m/s，加速度大小a_甲=2m/s²做匀减速直线运动，同时在甲后面x₀=26m处，乙以初速度v_乙=4m/s，加速度a_乙=1m/s²做匀加速直线运动．求：
（1）乙车追上甲车前二者间的最大距离；
（2）乙车追上甲车时，乙车运动的时间．

Answer 1

分析 当两车速度相等时两车间的距离了最大；当两车位移相等时，两车再次相遇；应用匀变速运动的速度公式与位移公式可以正确解题．

解答 解：（1）设经过时间t₁，甲、乙两车的速度相等均为v，此时二者相距最远．则有：$v={v}_{甲}^{\;}-{a}_{甲}^{\;}{t}_{1}^{\;}={v}_{乙}^{\;}+{a}_{乙}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
代入数据为：$16-2{t}_{1}^{\;}=4+1×{t}_{1}^{\;}$
解得：${t}_{1}^{\;}=4s$     v=8m/s
在这4s内，甲车的位移为：${x}_{甲}^{\;}=\frac{{v}_{甲}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{16+8}{2}×4m=48m$
乙车的位移为：${x}_{乙}^{\;}=\frac{{v}_{乙}^{\;}+v}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{4+8}{2}×4m=24m$
此时，二者的距离大为：${x}_{m}^{\;}={x}_{甲}^{\;}-{x}_{乙}^{\;}+{x}_{0}^{\;}=48-24+26=50m$
（2）设甲车从开始计时到停下来所用时间为t₂，则有：${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{甲}^{\;}}{{a}_{甲}^{\;}}=\frac{16}{2}s=8s$
在这8s内，甲车的位移为：${x}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{甲}^{\;}}{2}{t}_{2}^{\;}=\frac{16}{2}×8=64m$
乙车的位移为：${x}_{2}^{\;}={v}_{乙}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{乙}^{\;}{t}_{2}^{2}=4×8+\frac{1}{2}×1×{8}_{\;}^{2}$=64m
由于开始时，二者相距x₀=26m，故甲车停下来时，乙车未追上甲车．
从开始计时到乙车追上甲车，乙车一共运动的位移为：${x}_{3}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{x}_{0}^{\;}=64+26=90m$
设乙车追上甲车时，乙车运动的时间为t₃，则有：${x}_{3}^{\;}={v}_{乙}^{\;}{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{乙}^{\;}{t}_{3}^{2}$
代入数据：$90=4{t}_{3}^{\;}+\frac{1}{2}×1{t}_{3}^{2}$
解得：t₃=10s      
答：（1）乙车追上甲车前二者间的最大距离50m；
（2）乙车追上甲车时，乙车运动的时间10s

点评 本题是一道追击问题，当两车速度相等时两车间的距离最大；两车同时同地出发，当两车位移相等时，两车再次相遇．