Question

5．如图所示，金属板PQ，MN平行放置，金属板长为4a，间距为4a，两板间连接在输出电压为U的恒定电源两端，上金属板PQ中央有一小孔O，板间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域P′Q′M′N′，且OP′=OQ′=a，P′M′=Q′N′=a，现将一带电小球从距上板某一高度由静止释放，小球从小孔O进入磁场，小球离开磁场后在平行金属板间做直线运动恰好从下板N端射出电场，已知重力加速度为g，求：
（1）带电小球的电荷量与质量之比；
（2）小球从释放到从下板N端射出所需时间．

Answer 1

分析 （1）小球离开磁场后沿直线运动，所受合外力为零，由平衡条件求出电荷量与质量之比．
（2）小球进入磁场前做自由落体运动，在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，求出各段的运动时间，然后求出总的运动时间．

解答 解：（1）小球离开磁场后受到竖直向下的重力作用与电场力作用而做直线运动，
小球速度方向与受力方向不在同一直线上，则小球做匀速直线运动，所受合外力为零，
由平衡条件得：q$\frac{U}{4a}$=mg，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{4ag}{U}$；
（2）小球运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：$\frac{r}{tanθ}+\frac{2a}{tanθ}=4a$
且rsinθ=a，
解得：r=$\sqrt{10}$a，
小球在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{4\sqrt{10}g{a}^{2}B}{U}$，
小球进入磁场前做自由落体运动，运动时间：t₁=$\frac{v}{g}$=$\frac{4\sqrt{10}{a}^{2}B}{U}$，
小球在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πU}{2gaB}$，
在磁场中的运动时间：t₂=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{Uarctan\frac{1}{3}}{4gaB}$，
小球离开磁场后的位移大小：s=$\sqrt{{a}^{2}+（4a-a）^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
离开磁场后的运动时间：t₃=$\frac{s}{v}$=$\frac{U}{4gaB}$，
小球从释放到从下板N端射出所需时：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{4\sqrt{10}{a}^{2}B}{U}$+$\frac{Uarctan\frac{1}{3}}{4gaB}$+$\frac{U}{4gaB}$；
答：（1）带电小球的电荷量与质量之比为$\frac{4ag}{U}$；
（2）小球从释放到从下板N端射出所需时间为$\frac{4\sqrt{10}{a}^{2}B}{U}$+$\frac{Uarctan\frac{1}{3}}{4gaB}$+$\frac{U}{4gaB}$．

点评 本题考查了求荷质比、运动时间，分析清楚运动过程，应用平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．