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4．如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=45°，孔Q到板的下端C的距离L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：
（1）两板间电压的最大值Um；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间tm
（3）CD板上可能被粒子打中的区域的长度x．

分析 （1）粒子恰好垂直打在CD板上，根据粒子的运动的轨迹，可以求得粒子运动的半径，由半径公式可以求得电压的大小；
（2）打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，为半个周期，根据周期公式即可求解．
（3）当粒子的运动的轨迹恰好与CD板相切时，这是粒子能达到的最下边的边缘，在由几何关系可以求得被粒子打中的区域的长度．

解答 解：（1）据题，M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，所以其轨迹圆心在C点，CH=QC=L，故轨迹半径R1=L
又由牛顿第二定律得 qvB=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
粒子在MN间加速时，有 qUm=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$
所以联立得 Um=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$
（2）打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半周期．
粒子运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$
所以最长时间tm=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$
（3）设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2，在△AKC中：
 sin45°=$\frac{{R}_{2}}{L-{R}_{2}}$
可得 R2=（$\sqrt{2}$-1）L
即KC长等于 R2=（$\sqrt{2}$-1）L
所以CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，x=HK=R1-R2=L-（$\sqrt{2}$-1）L=（2-$\sqrt{2}$）L
答：
（1）两板间电压的最大值Um为$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间tm为$\frac{πm}{qB}$．
（3）CD板上可能被粒子打中的区域的长度x为（2-$\sqrt{2}$）L；

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，画出粒子的运动轨迹后，由几何关系求轨迹半径和圆心角是关键，要掌握住半径公式、周期公式．

练习册系列答案
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