Question

3．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面以初速度v₀水平抛出一个小球，小球飞行一段时间t后恰好垂直地撞在倾角为θ的该星球表面的斜坡上，已知该星球的半径为R，不考虑其它可能存在的阻力．求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）抓住小球垂直撞在倾角为θ的斜面上，根据平行四边形定则求出小球的竖直分速度，结合速度时间公式求出星球表面的重力加速度．
（2）万有引力提供向心力，万有引力等于重力求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）撞击斜坡时，小球的竖直分速度${v_y}=\frac{v_0}{tanθ}$     ①
又v_y=gt   ②
由①②得该星球表面的重力加速度$g=\frac{v_0}{t•tanθ}$   ③
（2）设该星球质量为M，近地卫星的质量为m，第一宇宙速度为v
有$\frac{GMm}{R^2}=\frac{{m{v^2}}}{R}$  ④
$\frac{GMm}{R^2}=mg$     ⑤
由③④⑤得$v=\sqrt{\frac{{{v_0}R}}{t•tanθ}}$．
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{{v}_{0}}{t•tanθ}$；
（2）该星球的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{v}_{0}R}{t•tanθ}}$．

点评 本题考查了万有引力定律和平抛运动的综合运用，通过平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度是解决本题的关键．