Question

5．地球半径R，在距球心r处有一同步卫星（r＞R），另有一半径为2R的星球A，在距离其球心3r处也有一同步卫星，它的周期是48h，那么星球A平均密度与地球平均密度的比值为多少？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，求出天体的质量，再求出密度，看与什么因素有关．从而得出密度之比．

解答 解：根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
天体的质量：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，
体积为：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
密度为：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，
因为地球的同步卫星和星球A的同步卫星的轨道半径比为1：3，地球和星球A的半径比为1：2，两同步卫星的周期比1：2．所以A星球平均密度与地球平均密度的比值为：
$\frac{{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}}=\frac{（3r）^{3}}{{r}^{3}}×\frac{{R}^{3}}{（2R）^{3}}×\frac{2{4}^{2}}{4{8}^{2}}$=$\frac{27}{32}$．
答：星球A平均密度与地球平均密度的比值为27：32．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，结合天体体积求出密度的表达式是关键．