Question

如图所示，在O处放置一个正电荷．在过O点的竖直平面内的A点自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m，电荷量为q．小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆（图中实线表示）相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC=30°，A点距离B的竖直高度为h．若小球通过C点的速度为v，则求：
（1）从A至C过程中小球克服电场力做的功；
（2）AB间的电势差U_AB．

Answer 1

分析：小球从A至C的过程中只有重力和电场力做功，则它们做的总功等于小球动能的变化．根据动能定理可以求出小球克服电场力做的功W；根据电场力做功W_AB=qU_AB，在已知电场力做功的情况下可以求得AB间的电势差．

解答：解：
（1）如图：

根据小球运动的轨迹可知，小球从A至C的过程中竖直方向下落高度H=h+Rsin30°，则小球从A至C的过程中只有重力和电场力做功，根据动能定理有：
W_G+W_E=△E_K
即：mgH+WE=

1

2

mv2-0
则电场力做功：
WE=

1

2

mv2-mgH=

1

2

mv2-mg(h+

1

2

R)
所以小球克服电场力做功W=-W_E=mg(h+

R

2

)-

1

2

mv2
（2）根据电场力做功与电场势差的关系有：W_AC=qU_AC
所以AC间的电势差UAC=

WAC

q

=

1 2 mv2-mg(h+ 1 2 R)

q

=

mv2-mg(2h+R)

2q

答：（1）从A至C过程中小球克服电场力做的功为：mg(h+

R

2

)-

1

2

mv2；
（2）AB间的电势差U_AB=

mv2-mg(2h+R)

2q

．

点评：在过程中能正确确定哪些力做功，满足总功等于物体动能的变化，熟悉电场力做功与电势差间的关系是解决本题的关键．