Question

1．如图所示，两条平行的金属导轨相距L=1m，水平部分处在竖直向下的匀强磁场B₁中，倾斜部分与水平方向的夹角为37°，处于垂直于斜面的匀强磁场B₂中，B₁=B₂=0.5T．金属棒MN和PQ的质量均为m=0.2kg，电阻R_MN=0.5Ω和R_PQ=1.5Ω，MN置于水平导轨上，PQ放在倾斜导轨上，刚好不下滑．两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，MN棒在水平外力F的作用下由静止开始向右运动，MN棒的速度v与位移x满足关系v=0.4x．不计导轨的电阻，MN始终在水平导轨上运动，MN与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5．
（1）问当MN棒运动的位移为多少时PQ刚要滑动．
（2）求从t=0到PQ刚要滑动的过程中通过PQ棒的电荷量．
（3）求MN从开始到位移x₁=5m的过程中外力F做的功．

Answer 1

分析 首先此题隐含了开始时PQ刚好不下滑，则有PQ重力的下滑分量与最大静摩擦力相等，这到下面计算中出用到．其次由于MN的速度随位移均匀增大，所以一段位移的平均速度等于位移中点的平均速度，这在求焦耳热中要用到．
（1）MN的运动产生感应电流，从而使PQ受到向上的安培力，当其刚要上滑时，静摩擦力达到最大，由平衡条件可列方程，F_安=mgsin37°+μ′mgcos37°，而安培力BIL，I中有速度的式子，而v=0.4x，代入平衡方程就能求出MN的位移．
（2）求电荷量，当然用平均电流与时间的积，最后得到电量为$\frac{△∅}{{R}_{总}}$，很容易求出此过程的电量．
（3）由功能关系知：外力做的功等于增加的动能、摩擦产生的热、焦耳热之和，前两个很好计算，而焦耳热也可用平均值方法求．先求出电流的平均值，再由焦耳定律求得．

解答 解：（1）由题意，PQ置于倾斜轨道上刚好不滑，则有：
          mgsin37°=μ′mgcos37°     ①
  于是得到PQ与导轨的动摩擦因数：μ′=tan37°=0.75 
  当MN由静止开始向右加速时，MN切割磁感线产生感应电动势，PQ受到沿斜面向上的安培力F_安，当PQ刚要向上滑动时，则有：
  F_安=mgsin37°+μ′mgcos37°     ②
  而F_安=$BIL=B\frac{BLv}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}L$     ③
  而v=0.4x          ④
联立以上几式得：x=48m
（2）以上过程通过回路的电荷量：
    $q=\overline{I}△t=\frac{\frac{△∅}{△t}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}△t=\frac{BLx}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{0.5×1×48}{0.5+1.5}C$=12C
（3）MN从开始到位移x₁=5m的过程中，由于速度随位移均匀增大，则感应电流也随位移均匀增大，所以此过程的平均电流：
    $\overline{I}=\frac{{{I}_{0}+I}_{1}}{2}=\frac{\frac{BL{v}_{1}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}}{2}$=$\frac{0.5×1×0.4×5}{2（0.5+1.5）}A$=0.25A．
两棒上产生的焦耳热：
Q=${\overline{I}}^{2}（{R}_{MN}+{R}_{PQ}）t$=$0.2{5}^{2}×（0.5+1.5）×\frac{5}{\frac{0.4×5}{2}}J$=0.625J．
由功能关系得到：${W}_{F}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+μmg{x}_{1}+Q$=6.025J
答：（1）当MN棒运动的位移为48m时PQ刚要滑动．
（2）从t=0到PQ刚要滑动的过程中通过PQ棒的电荷量为12C．
（3）MN从开始到位移x₁=5m的过程中外力F做的功为6.025J．

点评 本题的难点在于第三问，由功能关系知：外力所做的功应等于增加的能量，即动能+摩擦生热+焦耳热．焦耳热的计算解答中用的方法是焦耳定律，先求电流平均值，再代入焦耳定律．但也可以用克服安培力做的功来求，即$Q=\overline{{F}_{安}}•x=B\overline{I}L•x=B\frac{BL\overline{v}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}L•x$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\frac{{v}_{1}}{2}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}•x$=0.625J，两种结果相同．