Question

14．如图甲所示，相距d的两根足够长的金属制成的导轨，水平部分左端ef间连接一阻值为2R的定值电阻，并用电压传感器实际监测两端电压，倾斜部分与水平面夹角为37°．长度也为d、质量为m的金属棒ab电阻为R，通过固定在棒两端的金属轻滑环套在导轨上，滑环与导轨上MG、NH段动摩擦因数μ=$\frac{1}{8}$（其余部分摩擦不计）．MN、PQ、GH相距为L，MN、PQGH相距为L，MN、PQ间有垂直轨道平面向下、磁感应强度为B₁的匀强磁场，PQ、GH间有平行于斜面但大小、方向未知的匀强磁场B₂，其他区域无磁场，除金属棒及定值电阻，其余电阻均不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8，当ab棒从MN上方一定距离由静止释放通过MN、QP区域（运动过程ab棒始终保护水平），电压传感器监测到U-t关系如图乙所示：

（1）求ab棒刚进入磁场B₁时的速度大小；
（2）求定值电阻上产生的热量Q₁；
（3）多次操作发现，当ab棒从MN以某一特定速度进入MNQP区域的同时，另一质量为2m、电阻为2R的金属棒cd只要以等大速度从PQ进入PQHG区域，两棒均匀速同时通过各自场区，试求B₂的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根据电压传感器的示数求解感应电动势，根据导体切割磁感线产生的感应电动势计算公式求解速度大小；
（2）根据图乙可得ab杆匀速运动时定值电阻两端电压，根据闭合电路的欧姆定律和法拉第电磁感应定律求解速度大小，根据动能定理求解产生的总热量，根据焦耳定律可得定值电阻产生的焦耳热；
（3）两棒以相同的初速度进入场区，匀速经过相同的位移，分别对对ab棒、cd棒根据共点力平衡条件列方程求解B₂，根据左手定则判断B₂方向．

解答 解：（1）根据ab棒刚进入磁场B₁时电压传感器的示数为U可得此时的感应电动势E₁=U+$\frac{U}{2R}•R$=1.5U，
根据导体切割磁感线产生的感应电动势计算公式可得：E₁=B₁dv₁
解得：v₁=$\frac{1.5U}{{B}_{1}d}$；
（2）设金属棒ab离开PQ时的速度为v₂，根据图乙可知，定值电阻两端电压为2U，
根据闭合电路的欧姆定律可得：$\frac{{B}_{1}d{v}_{2}}{2R+R}•2R=2U$，
解得：v₂=$\frac{3U}{{B}_{1}d}$；
棒ab从MN到PQ，根据动能定理可得：
mgsin37°•L-μmgcos37°•L-W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
根据功能关系可得产生的总的焦耳热Q_总=W_安，
根据焦耳定律可得定值电阻产生的焦耳热为Q₁=$\frac{2R}{2R+R}{Q}_{总}$
联立解得Q₁=$\frac{1}{3}mgL-\frac{9m{U}^{2}}{4{B}_{1}^{2}{d}^{2}}$；
（3）两棒以相同的初速度进入场区，匀速经过相同的位移，对ab棒，根据共点力的平衡可得：
mgsin37°-μmgcos37°-$\frac{{B}_{1}^{2}{d}^{2}v}{2R}$=0，
解得：v=$\frac{mgR}{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}$；
对cd棒，因为2mgsin37°-μ•2mgcos37°＞0，故cd棒安培力必须垂直导轨平面向下，
根据左手定则可知磁感应强度B₂沿导轨平面向上，cd棒也匀速运动，则有：
$2mgsin37°-μ（2mgcos37°+{B}_{2}×\frac{1}{2}×\frac{{B}_{1}dv}{2R}×d）=0$，
将v=$\frac{mgR}{{B}_{1}^{2}{d}^{2}}$代入解得：B₂=32B₁．
答：（1）ab棒刚进入磁场B₁时的速度大小为$\frac{1.5U}{{B}_{1}d}$；
（2）定值电阻上产生的热量为$\frac{1}{3}mgL-\frac{9m{U}^{2}}{4{B}_{1}^{2}{d}^{2}}$；
（3）B₂的大小为32B₁，方向沿导轨平面向上．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．