Question

4．如图所示，是一种电子扩束装置的原理示意图．直角坐标系原点O处有一电子发射装置，可以不断朝xOy平面内x≥0区域任意方向发射电子，电子的速率均为v₀，已知电子的电荷量为e、质量为m．在0≤x≤d的区域内分布着沿x轴负方向的匀强电场，场强大小E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2ed}$，在x＞d区域内分布着足够大且垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=$\frac{4m{v}_{0}}{ed}$，ab为一块很大的平面感光板，在磁场内平行于y轴放置，电子打到板上后会在板上形成一条亮线．不计电子的重力和电子之间的相互作用．求：
（1）电子进入磁场时速度v的大小；
（2）当感光板沿x轴方向移到某一位置时恰好没有电子打到板上，求板ab到y轴的距离x₁；
（3）保持（2）中感光板位置不动，改变磁感应强度的大小，使所有电子都能打到感光板上，试计算此时最小的磁感应强度B′的大小．

Answer 1

分析 （1）电子在电场中运动时，电场力做功都相同，为eEd，根据动能定理求出电子离开电场时的速度大小，即得到电子进入磁场时速度的大小；
（2）电子进入磁场后由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动．对于沿y轴负方向射出的电子进入磁场时，不能打到ab板上，则所有电子均不能打到ab板上．当此电子轨迹与ab板相切时，画出轨迹，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何知识求出感光板到y轴的距离x₁．
（3）沿y轴正方向射出的电子若能打到ab板上，则所有电子均能打到板上．此电子轨迹恰好与ab板相切，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求解磁感应强度的大小．

解答 解：（1）电场力对电子做功，由动能定理得：
eEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v=2v₁；
（2）由题意结合左手定则可以判定：若沿y轴负方向射出的电子进入磁场后轨迹与ab板相切不能打到ab板上时，
则所有电子均不能打到ab板上，作出其运动轨迹如图所示．
设该电子进入磁场时与竖直方向的夹角为θ，有：vcosθ=v₁，
电子在洛伦兹力作用下做圆周运动，由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由图中几何关系可知：x₁=r（1+cosθ）+d，解得：x₁=$\frac{7}{4}$d；
（3）由题意结合左手定则可以判定：若沿y轴正方向射出的电子进入磁场后轨迹恰好与ab板相切能打到ab板上，
则所有电子均能打到板上，作出其运动轨迹如图所示．
由几何关系得：d+r′（1-cosθ）=r₁，
由牛顿第二定律得：evB′=m$\frac{{v}^{2}}{r′}$，解得：B′=$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$；
答：（1）电子进入磁场时速度的大小为2v₀；
（2）当感光板ab沿x轴方向移到某一位置时，恰好没有电子打到板上，感光板到y轴的距离x₁为$\frac{7}{4}$d；
（3）保持（2）中感光板位置不动，若使所有电子恰好都能打到感光板上，磁感应强度的大小为：$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$．

点评 本题考查了粒子在电磁场中的运动问题，本题是电场中偏转和磁场中圆周运动的综合，关键是分析临界情况，当电子刚好不能打到ab板上时，其轨迹恰好与ab板相切，这是经常用到的临界条件．