题目内容
某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？
分析：（1）根据过山车能通过圆形轨道最高点得出在最高点的速度值，根据运动过程机械能守恒求解．
（2）过圆周最低点根据牛顿第二定律和机械能守恒求解．
（2）过圆周最低点根据牛顿第二定律和机械能守恒求解．
解答：解：（1）设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1过圆周轨道最高点．
在圆轨道最高点有：Mg=M
…①
运动过程机械能守恒：Mgh1=2MgR+
Mv12…②
由①②式得：
h1=2.5R
高度h至少要2.5R．
（2）设从高度h2处开始下滑，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是FN=7mg．
最低点：FN-mg=m
…③
运动过程机械能守恒：mgh2=
mv22…④
由③④式得：
h2=3R
高度h不得超过3R．
答：（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少是2.5R．
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过3R．
在圆轨道最高点有：Mg=M
| v12 |
| R |
运动过程机械能守恒：Mgh1=2MgR+
| 1 |
| 2 |
由①②式得：
h1=2.5R
高度h至少要2.5R．
（2）设从高度h2处开始下滑，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是FN=7mg．
最低点：FN-mg=m
| v22 |
| R |
运动过程机械能守恒：mgh2=
| 1 |
| 2 |
由③④式得：
h2=3R
高度h不得超过3R．
答：（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少是2.5R．
（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过3R．
点评：本题考查机械能守恒及竖直面内的圆周运动，选择合适的过程，并注意竖直面内圆周运动的临界条件即可求解．
练习册系列答案
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和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R,可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆
形轨道运动。
