题目内容
图示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只（附砝码一盒）．
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可出推导出月球的半径和质量．（已知万有引力常量为G），要求：
（1）说明机器人是如何进行第二次测量的？
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
（3）若已知R月=
R地，g月=
g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？
【答案】分析：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）静止时读出弹簧秤的读数F，求出月球表面重力加速度．不考虑月球的自转影响，根据重力近似等于月球的万有引力，列方程得出月球表面重力加速度与月球半径的关系式，再飞船在绕月球运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力列方程，得到月球质量与月球半径、飞船周期的关系式，再联立求解月球半径和质量的表达式．
（3）根据万有引力提供向心力，得到近月卫星和近地卫星速度的表达式，再求出两速度之比．
解答：解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转可知 mg月=F ①
②
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力可知
③又 
④
由①．②．③．④式可知月球的半径
，
月球的质量
．
（3）设近月卫星和近地卫星的速度分别为v月、v地．
由
得
则
．
答：（1）机器人是这样进行第二次测量的：机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球半径的表达式R=
，质量表达式量
．
（3）近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
倍．
点评：登月飞船绕月球旋转与人造卫星绕地球运行相似，要建立物理模型：飞船绕月做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供飞船的向心力．
（2）静止时读出弹簧秤的读数F，求出月球表面重力加速度．不考虑月球的自转影响，根据重力近似等于月球的万有引力，列方程得出月球表面重力加速度与月球半径的关系式，再飞船在绕月球运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力列方程，得到月球质量与月球半径、飞船周期的关系式，再联立求解月球半径和质量的表达式．
（3）根据万有引力提供向心力，得到近月卫星和近地卫星速度的表达式，再求出两速度之比．
解答：解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转可知 mg月=F ①
②飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力可知
③又 ④由①．②．③．④式可知月球的半径
，月球的质量
．（3）设近月卫星和近地卫星的速度分别为v月、v地．
由
得则
．答：（1）机器人是这样进行第二次测量的：机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球半径的表达式R=
，质量表达式量．（3）近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
倍．点评：登月飞船绕月球旋转与人造卫星绕地球运行相似，要建立物理模型：飞船绕月做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供飞船的向心力．
练习册系列答案
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R地，g月= 
g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？
R地，g月=
g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？
R地，g月=
g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？
R地，g月=
g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？