题目内容

当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据
小球编号ABCDE
小球的半径（×10-3m）0.50.51.522.5
小球的质量（×10-6kg）254540100
小球的收尾速度（m/s）1640402032
（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．
【答案】分析：（1）小球达到收尾速度时，小球做匀速直线运动，阻力与重力二力平衡．由平衡条件得即可求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的实验数据，归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系：v=．
（3）将C号和D号小球用细线连接后，求出它们的收尾速度，判断下落的先后顺序．
解答：解：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有
        f=mg                                           ①
则 fB：fC=mB：mC                                  ②
代入数据得 fB：fC=1：9                          ③
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即f∝v    ④
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r2 ⑤
得 f=kvr2 ⑥
将E组数据代入解得   k=4.9Ns/m3                         ⑦
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
   mCg+mDg=fC+fD                                  ⑧
即 mCg+mDg=kv（rC2+rD2）                               ⑨
代入数据得 v=27.2m/s                                       ⑩
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
答：（1）B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比为1：9．
（2）球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系k=4.9Ns/m3．
（3）将C号和D号小球用轻质细线连接，它们的收尾速度为27.2m/s，C球先落地．
点评：从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键，也是比较困难的．
练习册系列答案
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当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据
小球编号 A B C D E
小球的半径（×10-3m） 0.5 0.5 1.5 2 2.5
小球的质量（×10-6kg） 2 5 45 40 100
小球的收尾速度（m/s） 16 40 40 20 32
（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．
（2007?茂名一模）当物体从高空下落时，空气阻力（不计空气的浮力）会随物体的速度增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的终极速度仅与球的半径和质量有关（g取10m/s2）下表是某次研究的实验数据：
小球编号 A B C D
小球的半径（×10-2m） 0.5 0.5 1.0 1.5
小球的质量（×10-3kg） 2 5 5 45
小球的终极速度（m/s） 16 40 10 40
（1）根据表中的数据，求出C球与D球在达到终极速度时所受的空气阻力之比fC：fD
（2）根据表中的数据，归纳出球形物体所受空气阻力f与球的终极速度v及球的半径r的关系，写出表达式并求出比例系数．
当物体从高空下落时，空气阻力会随物体的速度的增大而增大，因此下落一段距离后将以某个速度匀速下落，这个速度称为物体的下落终极速度．研究发现，在相同环境下，球形物体的终极速度仅与球的半径和质量有关．下面是某次研究的实验数据：（g取10m/S2）
小球编号 A B C D E
小球的半径（×10-3） 0.5 0.5 1.5 2 2.5
小球的质量（×10-6） 2 5 45 40 100
小球的终极速度（ m/s） 16 40 40 20 32
（1）根据表中的数据，求A球达到终极速度时所受的阻力；
（2）根据表中的数据，归纳出球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r之间的关系，要求写出表达式及比例系数k的数值．
（3）现将C号小球和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受的空气阻力与单独下落时的规律相同，让它们同时从足够高处下落，求它们的终极速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．
（2003?江苏）当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f=krv，k是比例系数．对于常温下的空气，比例系为k=3.4×10-4Ns/m2．已知水的密度ρ=1.0×103kg/m3，取重力加速度g=10m/s2．试求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的终极速度vT．（结果取两位数字）
2012年10月14日，奥地利人Baumgartner从太空边缘（离地39km）起跳，据报道他以最高每小时1342km的速度，回到地球表面，成为“超音速”第一人．自由落体运动的时间约为5分35秒．已知空气中音速约为340m/s，空气密度ρ=1.29kg/m3，重力加速度g=10m/s2．
（1）他降落过程中的速度是否超过了音速？
（2）这篇报道中有什么数据相互矛盾？以上两个问题请通过计算说明；
（3）当物体从高空下落时，空气对物体的阻力公式：f=
1
2
CDρv2S（CD=
9
2
，ρ为空气密度，v为运动速度，S为物体截面积）．因此，物体下落一段距离后将会匀速下落，这个速度被称为收尾速度．设Baumgartner加装备的总质量为100kg，腰围100cm．请计算他的收尾速度大小．

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