题目内容
如图所示，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC．为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力，试求：（1）画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹．
（2）该粒子在磁场里运动的时间t．
（3）该正三角形区域磁场的最小边长．
分析：根据题意，画出粒子运动的轨迹，根据几何关系可求解粒子在磁场里运动的时间以及正三角形区域的最小边长．
解答：解：（1）由洛伦兹力提供向心力得：qvB=
，
且周期T=
T=
=
，
得轨道半径r=
，
周期：T=
由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出
（2）粒子的运动轨迹为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°该粒子在此磁场里运动的时间：
t=
T=
；
（3）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°
则正三角形区域磁场的最小边长为：L=
=
，
解得L=
(
+1)
答：（1）磁场区域及粒子运动的轨迹如上图．（2）该粒子在磁场里运动的时间
；（3）该正三角形区域磁场的最小边长
(
+1)；
| mv2 |
| r |
且周期T=
| 2πr |
| v |
| 2πr |
| v |
| 2πm |
| qB |
得轨道半径r=
| mv |
| qB |
周期：T=
| 2πm |
| qB |
由题意知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图作出
（2）粒子的运动轨迹为圆弧GDEF，圆弧在G点与初速度方向相切，在F点与射出的速度方向相切，画出三角形abc，其与圆弧在D、E点相切，并与圆O交与F、G两点，即为所求最小磁场区域，由数学知识可知，∠FOG=60°该粒子在此磁场里运动的时间：
t=
| 5 |
| 6 |
| 5πm |
| 3qB |
（3）aH为底边cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°
则正三角形区域磁场的最小边长为：L=
| aH |
| cos30° |
| 2r+rcos30° |
| cos30° |
解得L=
| mv |
| qB |
4
| ||
| 3 |
答：（1）磁场区域及粒子运动的轨迹如上图．（2）该粒子在磁场里运动的时间
| 5πm |
| qB |
| mv |
| qB |
4
| ||
| 3 |
点评：本题关键是能够根据题意正确的画出粒子运动的轨迹，利用几何关系求解，侧重于考查能力，有一定的难度．
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