Question

19．如图所示，AB是倾角为θ=30°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R，一个质量为m的物体（可以看做质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′至少多大．

Answer 1

分析 （1）滑动摩擦力做功与总路程有关，对整个过程，利用动能定理求总路程；
（2）对B→E过程，由动能定理求出物体通过E点时的速度，再由牛顿运动定律求物体对轨道的压力；
（3）物体刚好到最高点D时，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出D点的速度，再由动能定理求解即可．

解答 解：（1）对整体过程，由动能定理得：
   mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0        
所以物体在AB轨道上通过的总路程  s=$\frac{R}{μ}$．
（2）最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点，在圆弧底部做往复运动，对B→E过程，由动能定理得：
  mgR（1-cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_E²  ①
在E点，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$ ②
由①②得 F_N=（3-2cos θ）mg=$（3-\sqrt{3}）mg$
（3）物体刚好到D点，由牛顿第二定律有：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$  ③
对全过程由动能定理得：
  mgL′sin θ-μmgcos θ•L′-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_D² ④
由③④得：L′=$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=$\frac{{（3+\sqrt{3}）R}}{{1-\sqrt{3}μ}}$
答：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程是$\frac{R}{μ}$；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力是$（3-\sqrt{3}）mg$；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′至少是$\frac{{（3+\sqrt{3}）R}}{{1-\sqrt{3}μ}}$．

点评 本题综合应用了动能定理求摩擦力做的功、圆周运动及圆周运动中能过最高点的条件，要知道滑动摩擦做功与总路程有关，小球刚到圆轨道最高点时重力等于向心力．