Question

1．如图所示，MN、PQ为光滑的平行直导轨，导轨与水平面成θ角放置，导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m、阻值为R的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．导轨处在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，导轨的电阻不计．现让ab杆由静止开始沿导轨下滑．经过t时间，ab杆达到最大速度v_m，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）t时间内ab杆下滑的距离大小．
（3）t时间内回路中产生的焦耳热为多少？

Answer 1

分析 （1）当ab杆受到的安培力大小等于杆的重力沿斜面的分力时，ab杆达到最大速度v_m，根据这个条件列式，求出磁感应强度的大小；
（2）利用能量守恒定律列式，求出t时间内ab杆下滑的距离大小；
（3）利用（1）和（2）的结论代入焦耳热的计算公式求出t时间内回路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）当ab杆受到的安培力大小等于杆的重力沿斜面的分力时，ab杆达到最大速度v_m
即F_安=BIL=mgsinθ
而感应电流I=$\frac{E}{R+R}$
感应电动势E=BLv_m
解得匀强磁场的磁感应强度B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）设ab杆下滑的距离大小为x
而平均感应电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+R}$
平均感应电动势$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{B•△S}{t}=\frac{BLx}{t}$
则下滑过程中安培力做的功为W=$-B\overline{I}Lx$=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2Rt}$
在整个下滑过程中，由能量守恒与微元法，则有：
mgsinθ•x+W=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得x=$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$；
（3）由（1）可知B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；由（2）可知x=$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$
故t时间内回路中产生的焦耳热Q=-W=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2Rt}$=$\frac{m{v}_{m}^{3}}{gtsinθ}$
答：（1）匀强磁场的磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）t时间内ab杆下滑的距离大小为$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$；
（3）t时间内回路中产生的焦耳热为$\frac{m{v}_{m}^{3}}{gtsinθ}$；

点评 本题考查电磁感应的功能关系，解题的关键是找到ab杆达到最大速度v_m的临界条件，计算出磁感应强度，再利用功能关系求出下滑的距离大小和焦耳热．