题目内容

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（1）小球刚进入甲轨道时的速度V0至少为多大？
（2）若小球以（1）问中的最小速度进入甲轨道，则小球经过乙轨道最低点时对轨道的压力F多大？

分析 （1）小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零，都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率．当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解小球刚进入甲轨道时的速度v0．
（2）根据动能定理求小球经过乙轨道最低点时的速度，再由牛顿定律求小球对轨道的压力．

解答 解：（1）设小球恰好通过甲轨道最高点的速度为v1，则有
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v1=$\sqrt{gR}$
取轨道最低点所在水平面为参考平面，从C到甲轨道的最高点的塩，由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}$mv012=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv12
解得 v01=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×1}$=5$\sqrt{2}$m/s
小球恰好通过乙轨道最高点时的速度 v2=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{6}$m/s
从C到乙轨道最高点的过程，由动能定理得
-mg•2r=-μmgL=$\frac{1}{2}$mv22-$\frac{1}{2}$mv022，解得 v02=$\sqrt{42}$m/s＜v01
所以小球刚进入甲轨道时的速度v0至少为5$\sqrt{2}$m/s．
（2）若小球以（1）问中的最小速度进入甲轨道，设小球经过乙轨道最低点时速度为vD．
从C运动到D的过程，由动能定理得
-μmgL=$\frac{1}{2}$mvD2-$\frac{1}{2}$mv012．
在D点，由牛顿第二定律得
F′-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
联立可得 F′=$\frac{220}{3}$N
根据牛顿第三定律知，小球经过乙轨道最低点时对轨道的压力 F=F′=$\frac{220}{3}$N
答：
（1）小球刚进入甲轨道时的速度v0至少为5$\sqrt{2}$m/s．
（2）小球经过乙轨道最低点时对轨道的压力F为$\frac{220}{3}$N．

点评 本题的关键要分析清楚小球的运动过程，把握圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力，运用机械能守恒定律和动能定理研究．要知道在竖直平面内，小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似．

练习册系列答案
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