Question

如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的内表面光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v₀向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？

Answer 1

分析：（1）紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，根据动能定理和牛顿第二定律求出最低点小球所受的支持力大小，根据能量守恒求出损失的机械能．

解答：解：（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为v_C，则有：
mg=

m v 2 c

R

     

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 c

+2mgR
代入数据，解得：v₀=

10

m/s  
（2）设此时小球到达最高点的速度为v_c′，克服摩擦力做的功为W，则：
mg-N=

mvc′2

R

     -2mgR-W=

1

2

mv

′

2 c

-

1

2

m

v

2 0

代入数据，解得：W=0.05J 
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为v_A，受到的支持力为N_A，则有：
mgR=

1

2

m

v

2 A

       NA-mg=

m v 2 A

R

代入数据，解得：N_A=3N  
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有
△E=

1

2

m

v

2 0

-mgR   
代入数据，解得：△E=0.25J
答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少

10

m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.05J．
（3）小球经过最低点A时受到的支持力为3N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.25J．

点评：本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行求解