Question

【题目】如下图所示,质量分别为和的两个星球和在引力作用下都绕点做匀速圆周运动,星球和两者中心之间的距离为.已知、的中心和三点始终共线, 和分别在的两侧.引力常数为.

（1）求两星球做圆周运动的周期;

（2）在地月系统中,若忽略其他星球的影响.可以将月球和地球看成上述星球和,月球绕其轨道中心运行的周期记为.但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为.已知地球和月球的质量分别为和.求与两者平方之比.(结果保留3位小数)

Answer 1

【答案】（1）（2）1.012

【解析】

解：（1）两星球围绕同一点O做匀速圆周运动,其角速度大小相同, 周期也相同,其所需向心力由两者间的万有引力提供,设A、B的轨道半径分别为r2、r1,由牛顿第二定律知:

对于B有

对于A有

又r1+r2=L

联立解得

（2）在地月系统中,由于地月系统旋转所围绕的中心不在地心,月球做圆周运动的周期可得出：

式中, 和分别是地球和月球的质量, 是地心与月心之间的距离.

若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动,则

式中, 为月球绕地心运动的周期.

得

则,

代入题给数据得.