Question

B如图所示，两物体的质量分别为M和m（M＞m），用细绳连接后跨在半径为R的固定光滑半圆柱体上，两物体刚好位于其水平直径的两端，释放后它们由静止开始运动，求：
（1）m到达半圆柱体顶端时的速度；
（2）m到达半圆柱体顶端时，M的机械能是增加还是减少，改变了多少？

Answer 1

分析：（1）m和 M组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，根据系统机械能守恒定律求出m到达半圆柱体顶端时的速度．
（2）机械能等于动能和势能之和，求出m在顶端时的机械能，从而判断机械能是增加还是减小．

解答：解：（1）系统机械能守恒，取m、M的起始位置为重力势能零点，则：
E₁=0； E₂=mgR+（-Mg?

πR

2

）+

1

2

（M+m）v²
由E₁=E₂ 即 0=mgR+（-Mg?

πR

2

）+

1

2

（M+m）v²
解得 v=

gR(πM-2m) M+m

．
（2）初始位置M的机械能为：E_M1=0
m在圆柱体顶时M的机械能为：
E_M2=-Mg?

πR

2

+

1

2

Mv²=-

MmgR(π+2)

2(M+m)

所以M的机械能减少，减少了

MmgR(π+2)

2(M+m)

．
答：（1）m到达半圆柱体顶端时的速度为v=

gR(πM-2m) M+m

．
（2）M的机械能减少，减少了

MmgR(π+2)

2(M+m)

．

点评：解决本题的关键知道单个物体由于有拉力做功，机械能不守恒，对于系统而言，只有重力做功，机械能守恒．