Question

（2007?盐城模拟）已知一颗人造卫星在半径为R的某行星上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动通过的弧长为S，卫星与行星的中心连线扫过的角度是θ弧度（已知引力常量为G）．求：
（1）人造卫星距该行星表面的高度h；
（2）该行星的质量M；
（3）该行星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析：（1）根据弧长等于半径乘以圆心角求解轨道半径，最后得到高度；
（2）根据万有引力定律提供向心力列式求解；
（3）行星的第一宇宙速度是近地轨道的环绕速度，根据万有引力提供向心力求解．

解答：解：（1）弧长S=rθ
高度h=r-R
故：h=

S

θ

-R；
（2）线速度：v=

S

t

万有引力定律提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
G

Mm

r2

=m

v2

r

解得：M=

S3

θGt2

；
（3）行星的第一宇宙速度是近地轨道的环绕速度，万有引力提供向心力，故

GMm

R2

=m

v 2 1

R

解得：v1=

S3 θt2R

；
答：（1）人造卫星距该行星表面的高度h为

S

θ

-R；
（2）该行星的质量M为

S3

θGt2

；
（3）该行星的第一宇宙速度为

S3 θt2R

．

点评：本题关键抓住万有引力提供向心力，然后根据牛顿第二定律列式求解，不难．