Question

12．半径为R、重为G₁的均匀光滑圆柱体，搁在相距2a、底边长为b，高为h、重为G₂两均匀长方体上，处于平衡状态．则地面对每个长方体的摩擦力大小为$\frac{GR}{2\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}}$，为使长方体不致翻到，长方体的高h必须满足的条件为h≤b$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$+Rbcosθ．

Answer 1

分析 对球体进行受力分析，根据共点力平衡条件可得出小球对长方体的压力；再对长方体由力矩平衡可求得h的条件．

解答 解：对小球受力分析可知，小球受重力、两长方体对球的支持力而处于平衡；如图所示；由共点力的平衡条件及几何关系可知：
$\frac{\frac{G}{2}}{F}$=cosθ=$\frac{\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}}{R}$
解得：F=$\frac{GR}{2\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}}$；
对长方体分析可知，要使长方体不翻倒，推力及摩擦力的力矩应满足力矩平衡；则有：
G$\frac{b}{2}$=F（hsinθ-bcosθ）
G$\frac{b}{2}$=$\frac{GR}{2\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}}$（hsinθ-bcosθ）
sinθ=$\frac{a}{R}$
解得：h=b$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$+Rbcosθ
h越高，越易翻倒；故h≤b$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$+Rbcosθ
故答案为：$\frac{GR}{2\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}}$；h≤b$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$+Rbcosθ

点评 本题考查共点力的平衡条件及力矩平衡，要注意正确受力分析，明确力矩平衡及共点力的平衡的条件即可求解．