Question

4．如图所示，串联阻值为R的闭合电路中，面积为S的正方形区域abcd存在一个方向垂直纸面向外、磁感应强度均匀增加且变化率为k的匀强磁场B_t，abcd的电阻值也为R，其他电阻不计．电阻两端又向右并联一个平行板电容器．在靠近M板处由静止释放一质量为m、电量为+q的带电粒子（不计重力），经过N板的小孔P进入一个垂直纸面向内、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，已知该圆形匀强磁场的半径为r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$．求：
（1）电容器获得的电压；
（2）带电粒子从小孔P射入匀强磁场时的速度；
（3）带电粒子在圆形磁场运动时的轨道半径；
（4）在图中画出带电粒子经过圆形磁场区的轨迹，并求出它离开磁场时的偏转角．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律可求得闭合电路的电动势，由闭合电路的欧姆定律可求得电路中的电流，则可求得电阻两端的电压，由电容器的连接可求得电容器的电压；
（2）带电粒子在电容器中做匀加速直线运动，由动能定理可求得粒子射入磁场时的速度；
（3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力可求得粒子转动半径；
（4）画出带电粒子经过圆形磁场区的轨迹，由几何关系可求得粒子的偏向角．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，闭合电路的电动势为 $E=\frac{△φ}{△t}=\frac{S•△B}{△t}=Sk$
根据闭合电路的欧姆定律，闭合电路的电流为 $I=\frac{E}{R+R}=\frac{Sk}{2R}$
电阻获得的电压 $U{\;}_R=IR=\frac{1}{2}Sk$
因电容器与电阻是并联的，故电容器获得的电压 $U=U{\;}_R=\frac{1}{2}Sk$
（2）带电粒子在电容器中受到电场力作用而做匀加速直线运动，根据动能定理，有：$qU=\frac{1}{2}mv{\;}^2$
得到带电粒子从小孔P射入匀强磁场时的速度为$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\sqrt{\frac{qSk}{m}}$
（3）带电粒子进入圆形匀强磁场后，洛伦兹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有：$qvB=m\frac{{v{\;}^2}}{R'}$
得带电粒子在圆形匀强磁场运动的半径为  $R'=\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$
又圆形磁场的半径$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mSk}{q}}$，即R′=r
（4）根据左手定则，带电粒子在圆形磁场向右转过$\frac{1}{4}$的圆周（如右图所示），故它离开磁场时的偏转角为90°．
答：
（1）电容器获得的电压为$\frac{1}{2}Sk$；
（2）带电粒子从小孔P射入匀强磁场时的速度为$\sqrt{\frac{qSk}{m}}$；
（3）带电粒子在圆形磁场运动时的轨道半径为r；
（4）在图中画出带电粒子经过圆形磁场区的轨迹如图，它离开磁场时的偏转角为90°．

点评 带电粒子在电磁场中的运动，要注意灵活选择物理规律，电场中一般由动能定理或类平抛的规律求解，而磁场中粒子做圆周运动，应由向心力公式及几何关系求解．