Question

7．万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方．已知引力常量为G，静电力常量为k．
（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为M的质点相距r处的引力场强度E_G的表达式；
（2）质量为m、电荷量为e的电子在库仑力的作用下以速度v绕位于圆心的原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图（1）．已知在一段时间内，电子走过的弧长为s，其速度方向改变的角度为θ（弧度）．求出原子核的电荷量Q；
（3）如图（2），用一根蚕丝悬挂一个金属小球，质量为m，电荷量为-q．悬点下方固定一个绝缘的电荷量为+Q的金属大球，蚕丝长为L，两金属球球心间距离为R．小球受到电荷间引力作用在竖直平面内做小幅振动．不计两球间万有引力，求出小球在库仑力作用下的振动周期．

Answer 1

分析 （1）根据电场强度定义方法，即可求解；
（2）依据牛顿第二定律，结合库仑定律与引力定律，即可求解；
（3）根据库仑定律，从而求得等效重力加速度，再依据振动周期公式，即可求解．

解答 解：（1）根据电场强度的定义式方法，那么质量为M的质点相距r处的引力场强度E_G的表达式：E_G=$\frac{F}{m}$=$\frac{\frac{GMm}{{r}^{2}}}{m}$=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；
（2）根据牛顿第二定律，依据库仑引力提供向心力，则有：$k\frac{Qe}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$，
由几何关系，得，$R=\frac{s}{θ}$，
解得：$Q=\frac{{m{v^2}s}}{θke}$；
（3）因库仑力：$F=k\frac{Qq}{R^2}$，
等效重力加速度：$g'=\frac{F}{m}=k\frac{Qq}{{m{R^2}}}$，
小球在库仑力作用下的振动周期：$T=2π\sqrt{\frac{L}{g'}}=2πR\sqrt{\frac{Lm}{kQq}}$．
答：（1）质量为M的质点相距r处的引力场强度的表达式E_G=$\frac{GM}{{r}^{2}}$；
（2）原子核的电荷量$\frac{m{v}^{2}s}{θke}$；
（3）小球在库仑力作用下的振动周期$\frac{kQq}{m{R}^{2}}$．

点评 考查电场强度的定义法，掌握牛顿第二定律，库仑定律与万有引力定律的内容，注意等效重力加速度的理解，及振动周期的公式的物理量的含义．