Question

如图所示，在真空中的一直角坐标系xOy平面内，有一个质量为m、电量为+q的粒子（不计重力），从原点O沿y轴正方向以初速度v₀射入，为了使此粒子能够沿圆弧轨道通过定点P（a，-b），可以在坐标系xOy平面内的某点固定一带负电的点电荷，已知静电力常数为k．求：
（1）该点电荷的固定在何处
（2）该点电荷的电量Q．

Answer 1

分析：（1）粒子做匀速圆周运动，圆心在OP连线的中垂线上；在O点时速度方向是切线方向，故圆心在OP的中垂线与x轴的交点上；
（2）根据电场力提供向心力列式求解即可．

解答：解：（1）粒子做匀速圆周运动，点O和点P是圆上的两个点，故圆心在OP连线的中垂线上；
在O点时速度方向是切线方向，故圆心在x轴上；
故圆心在OP连线的中垂线与x轴的交点处；
（2）在图中O′处固定一个带负电的点电荷Q，使粒子在库仑力作用下绕O′做匀速圆周运动，其轨道半径为R．
由图知θ=2α

根据几何关系，有
tanα=

a

b

故tanθ=

2tanα

1-tan2α

=

2ab

a2-b2

又根据几何关系，有tanθ=

b

a-R

故R=

a2+b2

2a

由牛顿第二定律得：k

Qg

R2

=m

v 2 0

R

解以上各式得：Q=

(a2+b2)m v 2 0

2akq

答：（1）该点电荷的固定在线段OP的中垂线与x轴的交点处；
（2）该点电荷的电量Q为

(a2+b2)m v 2 0

2akq

．

点评：本题主要结合圆周运动考查带电粒子的运动，关键是能把运动的轨迹画出，利用好几何关系求解．