Question

两足够长的平行金属导轨间的距离为L，导轨光滑且电阻不计，导轨所在的平面与水平面夹角为θ．在导轨所在平面内，分布磁感应强度为B、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场．把一个质量为m的导体棒ab放在金属导轨上，在外力作用下保持静止，导体棒与金属导轨垂直、且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻为R₁．完成下列问题：
（1）如图甲，金属导轨的一端接一个内阻为r的导体棒．撤去外力后导体棒仍能静止．求导体棒上的电流方向和电源电动势大小？
（2）如图乙，金属导轨的一端接一个阻值为R₂的定值电阻，让导体棒由静止开始下滑，求导体棒所能达到的最大速度？
（3）在（2）问中当导体棒下滑高度为h速度刚好达最大，求这一过程，导体棒上产生的热量和通过电阻R₂电量？

Answer 1

（1）由左手定则可得：b指向a  
回路中的电流为  I=

E

R1+r

  ①
导体棒受到的安培力为  F_安=BIL  ②
对导体棒受力分析知  F_安=mgsinθ  ③
联立上面三式解得：E=

mg(R1+r)sinθ

BL

  ④
（2）当ab杆速度为v时，感应电动势  E=BLv，此时电路中电流   I=

E

R

=

BLv

R1+R2

  ⑤
当 

B2L2v

R1+R2

=mgsinθ时，ab杆达到最大速度 v_m
  vm=

mg(R1+R2)sinθ

B2L2

  ⑥
（3）由能的转化和守恒定律可得：mgh=Q总+

1

2

m

v

2m

  ⑦
导体棒上产生的热量  Q棒=

R1

R1+R2

Q总  ⑧
联立⑥⑦⑧得：Q棒=

R1

R1+R2

(mgh-

m3g2(R1+R2)2sin2θ

2B4L4

)  ⑨
由

.

E

=

△Φ

△t

，

.

I

=

. E

R1+R2

，q=

.

I

?△t，△Φ=BL?

h

sinθ

联立得通过电阻R₂电量  q=

BLh

(R1+R2)sinθ

  ⑩
答：
（1）导体棒上的电流方向为和b指向a，电源电动势大小为

mg(R1+r)sinθ

BL

．
（2）导体棒所能达到的最大速度为

mg(R1+R2)sinθ

B2L2

．
（3）导体棒上产生的热量为

R1

R1+R2

(mgh-

m3g2(R1+R2)2sin2θ

2B4L4

)，通过电阻R₂电量为

BLh

(R1+R2)sinθ

．