Question

如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小． (1) 将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ＝30°的位置上(如图)．在 两圆环的中点C处，挂上一个质量M＝ m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离． (2) 若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得 　　Mgh＝2 mg(－R sinθ)，解得h＝．(另解h＝0舍去)
(2)	系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为 　　a．两小环同时位于大圆环的底端． 　　b．两小环同时位于大圆环的顶端． 　　c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端． 　　d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称轴两侧角的位置上(如图所示)． 对于重物m，受绳子拉力T与重力mg作用，有T＝mg，对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳子的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反T sinα＝T sinα′，得α＝α′,而α＋α′＝90°，所以α＝45°．