Question

6．板长为L=0.12m的带电平行金属板A、B，已知A板带负电，电场强度E=1×10³V/m，放置于竖直平面内的xOy坐标系中，y轴竖直向上，金属板平面与水平面成37°角，A板的一端在坐标原点上，且中心开有小孔Q，如图所示．质量为m=5×10^-3kg、带电量为+q=4×10^-5C的小球从y轴上某点P水平抛出，恰好垂直于A板从其中心小孔Q进入两板间，则小球刚好从B板边缘射出电场，计算时sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）P点的坐标和小球抛出时的速度v₀
（2）A、B两板所加电压U_AB．

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，将小球的运动分解，即可求出；
（2）对小球进行受力分析，求出极板之间的电场强度，然后由U=Ed即可求出电压U_AB．

解答 解：（1）由于小球恰好垂直于A板从其中心小孔Q进入面板间，所以小球的速度与竖直方向之间的夹角是37°，
根据速度的分解可得：v₀=v_ytan37°
小球在水平方向的位移：x=v₀t=$\frac{L}{2}$•cos37°
竖直方向的位移：h=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
联立解得：h=$\frac{Lcos37°}{3}$=$\frac{0.12×0.8}{3}$m=0.032m
P点的纵坐标：y=$\frac{1}{2}$Lsin37°+h=$\frac{1}{2}$×0.12×0.6+0.032=0.068m，则P点的坐标为（0，0.068m）．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.032}{10}}$s=0.08s
则 v₀=$\frac{Lcos37°}{2t}$=$\frac{0.12×0.8}{2×0.08}$=0.6m/s
（2）由题意可知，若小球在两板间所受电场力与重力的合力恰与水平面成37°角，则小球刚好从B板边缘射出电场，则A极板必须带负电，小球受到的合力的方向平行于AB的方向斜向下，如图：
此时：mg-qEcos37°=ma_y
    qEsin37°=ma_x
   $\frac{{a}_{y}}{{a}_{x}}$=tan37°
联立解得：qE=0.8mg
 ma=mgsin37°=0.6mg
所以：a=0.6g
则 U=Ed=$\frac{0.8mgd}{q}$
粒子恰好从B的边缘射出，则：$\frac{1}{2}$at′²=$\frac{1}{2}L$，d=v•t′，v=$\frac{{v}_{0}}{sin37°}$
联立以上三式得：d=$\frac{5}{3}$L
所以：U=$\frac{0.8mg}{q}$•$\frac{5}{3}$L=$\frac{4mgL}{3q}$
则U_AB=-U=-$\frac{4mgL}{3q}$=$\frac{4×5×1{0}^{-3}×10×0.12}{3×4×1{0}^{-5}}$=-50V
答：（1）P点的坐标是（0，0.068m），小球抛出时的速度v₀是0.6m/s．
（2）A、B两板所加电压U_AB是-50V．

点评 该题综合考查平抛运动、受力分析与带电粒子在电场中的偏转，其中结合题目的要求，正确分析出小球在电场中受到的合力的方向，是解题的关键．