Question

15．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ=30°，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值R=2r的电阻．一根质量为m，电阻为r的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量M=4m的重物相连．金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸长状态，由静止释放重物，求：（重力加速度大小为g，不计滑轮阻力）
（l）若S₁闭合、S₂断开，重物的最大速度；
（2）若S₁和S₂均闭合，电容器的最大带电量；
（3）若S₁断开、S₂闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流，根据共点力的平衡条件列方程求解重物的最大速度；
（2）求出S₁，S₂均闭合时电容器两板间的最大电压，根据Q=CU求解电容器的最大带电量；
（3）S₁断开、S₂闭合时，分析安培力的大小，求出t到（t+△t）内增加的电荷量，对金属棒由牛顿第二定律列方程求解加速度大小，根据速度时间关系求解速度v随时间t变化的关系式．

解答 解：（1）S₁闭合，S₂断开时，M由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力作用，设最大速度为v_m，
根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E=BLv_m，
根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BL{v}_{m}}{3r}$，
当金属棒速度最大时有：Mg=mgsin30°+BIL，
解得：v_m=$\frac{3r（4m-0.5m）g}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{21mgr}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）S₁，S₂均闭合时，电容器两板间的最大电压U=U_R=IR=$\frac{（M-msin30°）gR}{BL}$=$\frac{7mgr}{BL}$，
电容器的最大带电量Q=CU=$\frac{7mgrC}{BL}$；
（3）S₁断开、S₂闭合时，设从释放M开始经时间t金属棒的速度大小为v，加速度大小为a，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的安培力F=BiL，方向沿导轨向下，
设在时间t到（t+△t）内流经金属棒的电荷量为△Q，△Q也是平行板电容器在t到（t+△t）内增加的电荷量，△Q=CBL•△v，
根据运动学公式可得△v=a△t，
则i$\frac{△Q}{△t}$=CBLa，
设绳中拉力为T，由牛顿第二定律，对金属棒有：T-mgsin30°-BiL=ma，
对M有：Mg-T=Ma，
解得：a=$\frac{M-msin30°}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}g$=$\frac{7mg}{10m+2C{B}^{2}{L}^{2}}$，
可知M做初速度为零的匀加速直线运动，v=at=$\frac{7mg}{10m+2C{B}^{2}{L}^{2}}•t$．
答：（l）若S₁闭合、S₂断开，重物的最大速度为$\frac{21mgr}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）若S₁和S₂均闭合，电容器的最大带电量$\frac{7mgrC}{BL}$；
（3）若S₁断开、S₂闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式为$v=\frac{7mg}{10m+2C{B}^{2}{L}^{2}}•t$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．