题目内容

3．图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在垂直于导轨所在平面（纸面）的匀强磁场中（图中未画出）．导轨的a1b1、a2b2、c1d1、c2d2段均竖直．MN、PQ分别为两根粗细均匀的金属细杆，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，MN通过一细线悬挂在力传感器下，t=0时PQ在竖直向上的外力T作用下从图（a）中所示位置由静止开始沿导轨向上做匀加速直线运动，力传感器记录的拉力随时间变化的图象如图（b）所示．已知匀强磁场的磁感强度为B=1T，a1b1与a2b2间距离与两细杆的长度均为L1=0.5m，MN、PQ的电阻均为R=5Ω，回路中其它部分的电阻不计，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）金属杆PQ运动的加速度a；
（2）c1d1与c2d2间的距离L2；
（3）0～1.0s内通过MN的电量q．

分析 （1）0～1.0s内MN始终静止，根据力传感器的示数和平衡条件列式得到安培力与其重力的关系，由于两棒所受的安培力大小相等，得到F与t的关系式，结合图象的信息求解PQ的加速度a．
（2）0.5～1.0s内，安培力公式求出安培力，由图象求出L2；
（3）根据运动学公式求出0～1.0s内PQ运动的位移，即可得到回路磁通量的变化量，由电荷量的经验公式求解电量．

解答 解：（1）0～1.0s内MN始终静止，力传感器的示数为F=m1g-FA1，
其中FA1为MN受到的安培力，也即PQ受到的安培力大小；
0～0.5s内，FA1=BIL1=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}a}{2R}$t，
其中$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}a}{2R}$即为图象的斜率，
由图（b）可知$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}a}{2R}$=0.2N/s，
代入数据解得：a=8 m/s2；
（2）0.5～1.0s内FA2=BI?L1=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}a}{R+\frac{R}{{L}_{1}}{L}_{2}}$t，
由图（b）可知$\frac{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}a}{R+\frac{R}{{L}_{1}}{L}_{2}}$=0.05 N/s，
代入数据可得：L2=$\frac{1}{14}$m≈0.0714m；
（3）根据运动学公式可得0～0.5s内PQ运动的位移是x1=$\frac{1}{2}$at2=3m，
扫过的面积为S1=L1x1=0.5×3m2=1.5m2，
根据初速度为零的匀变速直线运动规律可知，0.5～1.0s内PQ运动的位移是x2=3x1=9m，
扫过的面积为S2=L2x2=0.0714×9m2=0.6426m2；
根据电荷量的计算公式q=It=$\frac{△∅}{2R}$=$\frac{B（{S}_{1}+{S}_{2}）}{2R}$=$\frac{1×（1.5+0.6426）}{2×5}$C≈0.214C．
答：（1）金属杆PQ运动的加速度为8 m/s2；
（2）c1d1与c2d2间的距离为0.0714m；
（3）0～1.0s内通过MN的电量为0.214C．

点评 本题是复杂的电磁感应现象，推导安培力的表达式和感应电量的表达式是解题的关键，同时要抓住两棒所受的安培力大小相等，建立两棒之间的联系，运用电磁感应与力学规律进行解题．

练习册系列答案
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20．关于曲线运动的性质，以下说法正确的是（　　）
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1．下列说法中正确的是（　　）
A．地球和太阳都不是宇宙的中心
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18．在建筑工地上有时需要将一些建筑材料由高处送到低处，为此工人们设计了一种如图所示的简易滑轨：两根圆柱形木杆AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上，把一摞瓦放在两木杆构成的滑轨上，瓦将沿滑轨滑到低处．在实际操作中发现瓦滑到底端时速度较大，有可能摔碎，为了防止瓦被损坏，下列措施中可行的是（　　）
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5．甲、乙两辆汽车在同一水平直道上运动，其运动的x-t图象如图所示，则下列关于两车运动情况的说法正确的是（　　）
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8．如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角θ，导轨间距L，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直斜面向上．将甲乙两个电阻相同、质量均为m的相同金属杆如图放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距L．从静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，使甲金属杆始终沿导轨向下做匀加速直线运动，加速度大小为gsinθ，乙金属杆刚进入磁场时作匀速运动．
（1）求金属杆乙刚进入磁场时的速度．
（2）自刚释放时开始计时，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系，并说明F的方向．
（3）若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q，试求此过程中外力F对甲做的功．
15．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD、EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ=30°，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值R=2r的电阻．一根质量为m，电阻为r的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量M=4m的重物相连．金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸长状态，由静止释放重物，求：（重力加速度大小为g，不计滑轮阻力）
（l）若S1闭合、S2断开，重物的最大速度；
（2）若S1和S2均闭合，电容器的最大带电量；
（3）若S1断开、S2闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式．
12．如图所示，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，磁铁中心为 O，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合．下列说法正确的是（　　）
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B．圆环过磁铁顶点的速度和过磁铁底端的速度相等
C．圆环过磁铁中心线 O 处加速度最大
D．细线对磁铁拉力一直增大
13．如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高，ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长．
（1）ab、cd棒的最终速度；
（2）全过程中感应电流产生的焦耳热．

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