Question

7．如图所示，一质量为M，长为L的木板放在水平面上，板的A端站着一个质量为m的人，人与板，板与地面间的摩擦因数分别为μ₂和μ₁，且有μ₂＞＞μ₁，人由静止开始向B端匀加速奔跑，到达B端时相对板突然停下，然后人与板一起滑行s距离．若要s最大，则人在板上加速度大小为多少？s的最大值为多少？

Answer 1

分析 结合题目给出的条件μ₂＞＞μ₁，以及动量定理，分析人到达木板的右侧时的共同速度，然后结合动能定理即可求出．

解答 解：人在木板上跑动的过程中，人与木板之间的作用力是系统的内力，木板受到的摩擦力是外力，设人在跑动的过程中木板受到的摩擦力为f，当人跑到B端时相对于木板静止后，人与木板组成的系统满足动量定理，即ft=（M+m）v．
①若该过程中木板相对于地面向左运动，则木板受到的摩擦力的大小都是相等的始终是μ₁（m+M）g，当人跑到B端时相对于木板静止后满足μ₁（m+M）gt=（M+m）v
可知人运动的时间越长，则系统的速度越大；而根据相对运动的特点可知，所以当木板恰好要相对于地面要运动时，人运动的时间最长，系统获得的速度最大，则人与板一起滑行S距离最大．
②若该过程中木板相对于地面没有运动，设木板受到的摩擦力的大小是f，人运动到达B端的时间为t，则ft=（M+m）v   ①
当人跑到B端时相对于木板静止后，人与木板受到的摩擦力大小为：f′=μ₁（M+m）g   ②
设人与木板相对于地面静止的过程中的位移为S，由动能定理得：$-f′S=0-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$   ③
联立①②③得：$\frac{1}{2}（M+m）•\frac{{f}^{2}{t}^{2}}{（M+m）^{2}}={μ}_{1}（M+m）gS$  ④
对人在木板上运动的过程中，由于木板相对于地面静止，则木板受到的人对木板的选择的摩擦力与木板受到的地面对木板的向右的摩擦力大小相等，所以木板对人的摩擦力大小等于地面对木板的摩擦力的大小，即f．对人：f=ma   ⑤
人到达B端的过程：$\frac{1}{2}a{t}^{2}=L$  ⑥
联立⑤⑥得：ft²=2mL   ⑦
将⑦式代入④得：$\frac{f•mL}{（M+m）^{2}}={μ}_{1}gS$  ⑧
可知，木板受到的摩擦力f越大，则人与板一起滑行S距离越大．所以当木板恰好要相对于地面要运动时，则人与板一起滑行S距离最大．
综合以上的分析可知，当木板恰好要相对于地面滑动时，人与板一起滑行S距离最大．此时f=f′=μ₁（M+m）g  ⑨
人的加速度：a=$\frac{f}{m}=\frac{{μ}_{1}（M+m）}{m}g$
将⑨代入⑧得：$S=\frac{mL}{（M+m）}$
答：当木板恰好要相对于地面要运动时，则人与板一起滑行S距离最大，此时人的加速度是$\frac{{μ}_{1}（M+m）}{m}g$，S的最大值是$\frac{mL}{M+m}$．

点评 该题中，人在木板上运动的过程中木板受到的摩擦力越大，运动的时间越长，则人和木板获得的水平方向的动量越大，结合相应的公式判断出系统具有的最大速度是解答的关键．