Question

如图甲所示，，在坐标系xoy平面内的第一象限，有一匀强磁场和竖直向下的匀强电场（图中未画出）．电场强度大小E=0.5N/s，磁感应强度大小恒为B=5T，方向垂直xoy平面，且随时间做周期相变化，变化规律如图乙所示，规定垂直xoy 平面向里为磁场的正方向．一质量为m=0.4kg，电荷量q=-8C的带点小球，以初速度v₀=5m/s从y轴上的P点沿x轴正方向开始运动．已知P点到原点O的距离H=8cm，不计磁场变化可能产生的一切其他影响，g=10m/s²．
（1）求小球离开第一象限时的位置坐标
（2）如果在小球离x轴的高度下降h=3cm后撤去电场，求小球到达x轴时的速率（可用根号表示）．

Answer 1

分析：（1）分析小球的分析情况和运动情况：求出小球所受的重力、电场力和洛伦兹力．根据计算，重力与电场力平衡，带电小球由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求出半径，由几何知识求出小球离开第一象限时的位置坐标．
（2）在小球离x轴的高度下降h=3cm后撤去电场，只有重力对小球做功，其机械能守恒，求出小球到达x轴时的速率．

解答：解：（1）小球所受重力G=mg=0.4×10N=4N，方向竖直向下，电场力F=qE=4N，方向竖直向上，则小球做匀速圆周运动．
则qv₀B=m

v 2 0

R

，得，R=

mv0

qB

代入解得，R=5cm
小球圆周运动的周期T=

2πm

qB

=2π×10^-2s，小球圆周运动的周期等于磁场感应强度变化的周期，则小球的运动轨迹如图．
图中，y=H-R=3cm，sinθ=

y

R

=

3

5

，cosθ=

4

5

小球离开第一象限时的位置横坐标x=R+R（1-cosθ）=6cm
所以小球离开第一象限时的位置坐标为（6cm，0）
（2）在小球离x轴的高度下降h=3cm后撤去电场，小球受到重力和洛伦兹力作用，洛伦兹力不做功，由机械能守恒得
   mg（H-h）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

代入解得，v=

26

m/s
答：
（1）小球离开第一象限时的位置坐标为（6cm，0）．
（2）如果在小球离x轴的高度下降h=3cm后撤去电场，小球到达x轴时的速率为

26

m/s．

点评：本题的关键在于分析小球的受力情况和运动情况，要通过定量计算来分析三个场力的关系，判断小球的运动情况．