Question

11．物体可以静止在倾斜角为θ的斜面上，现用水平外力F推物体，如图所示，在外力F由零逐渐增加的过程中，物体始终保持静止，动摩擦因数为μ，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，求：
（1）F为怎样的值时，物体会保持静止；
（2）该过程中物体所受摩擦力怎样变化？
（3）F为怎样的值时，物体从静止开始沿斜面以加速度a运动．

Answer 1

分析 （1）F的值是一个范围，先根据最小值时，物体所受摩擦力沿斜面向上，F为最大值时，物体所受摩擦力沿斜面向下，根据牛顿第二定律可求出F大小．
（2）对滑块受力分析，受推力、重力、支持力和静摩擦力；然后根据共点力平衡条件列式分析．
（3）把加速度a为沿斜面向上，和沿斜面向下，分别讨论分析，根据牛顿第二定律可得F的值．

解答 解：（1）首先以物体为研究对象，当F较小时，如图物体受重力mg、支持力N、斜向上的摩擦力f和F．物体刚好静止时，应是F的边界值，此时的摩擦力为最大静摩擦力，可近似看成f_静=μN（最大静摩擦力）．
据牛顿第二定律列方程，
平行于斜面：mgsinθ-f_静-Fcosθ=0
垂直于斜面：N-mgcosθ-Fsinθ=0
联立以上三式，得：F=$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}•mg$
当F从此值开始增加时，静摩擦力方向开始仍然斜向上，但大小减小，
当F增加到：Fcosθ=mgsinθ时，即：F=mg•tgθ时，F再增加，摩擦力方向改为斜向下，
仍可以根据受力分析图列出方程
平行于斜面：mgsinθ+f-Fcosθ=0
垂直于斜面：N-mgcosθ-Fsinθ=0
随着F增加，静摩擦力增加，F最大值对应斜向下的最大静摩擦力．
联立解得：F_MAX=$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}•mg$
要使物体静止，F的值应为：$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}•mg$≤F≤$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}•mg$
（2）对滑块受力分析，受推力、重力、支持，力和静摩擦力（先设为向上），如图所示：

①当Fcosθ＜mgsinθ时，静摩擦力平行斜面向上，根据平衡条件，有：
f=mgsinθ-Fcosθ，故静摩擦力随着推力的增加而减小；
②当Fcosθ＞mgsinθ时，静摩擦力平行斜面向下，根据平衡条件，有：
f=Fcosθ-mgsinθ，故静摩擦力随着推力的增加而增加；
故在外力F由零逐渐增加的过程中，静摩擦力先减小后增加；
（3）假设物体以加速度a沿斜面向下运动，设F此时的值为F₂，受力如图甲所示

根据牛顿第二定律，沿斜面方向：
mgsinθ-μ（mgcosθ+F₂sinθ）-F₂cosθ=ma
得：F₂=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）-ma}{cosθ+μsinθ}$
假设物体以加速度a沿斜面向上运动，设F此时的值为F₃，受力分析如图乙所示
根据牛顿第二定律，
沿斜面方向：F₃-mgsinθ-μ（mgcosθ+F₃sinθ）=ma
得：${F}_{3}=\frac{mg（sinθ+μcosθ）+ma}{cosθ-μsinθ}$
答：（1）F满足$\frac{sinθ-μcosθ}{cosθ+μsinθ}•mg$≤F≤$\frac{sinθ+μcosθ}{cosθ-μsinθ}•mg$时，物体会保持静止；
（2）该过程中物体所受摩擦力先减小后增大；
（3）F为$\frac{mg（sinθ+μcosθ）+ma}{cosθ-μsinθ}$值时，物体从静止开始沿斜面以加速度a沿斜面向上运动；
F为$\frac{mg（sinθ-μcosθ）-ma}{cosθ+μsinθ}$时，物体从静止开始沿斜面以加速度a沿斜面向下运动．

点评 本题关键是对物体受力分析后，根据共点力平衡条件列式分析，要分情况讨论，较难．