Question

如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量均为m的小球A和B．现将A和B分别置于距轴x和2x处，并用不可伸长的轻绳相连．已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f_m．试分析转速ω从零逐渐增大，两球对轴保持相对静止过程中，在满足下列条件下，ω与m、x、f_m的关系式．
（1）绳中刚出现张力时；
（2）A球所受的摩擦力方向改变时；
（3）两球相对轴刚要滑动时．

Answer 1

分析：角速度从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力，当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现张力；绳子出现张力后，角速度增大，张力增大，A球所受的摩擦力减小，当张力达到一定程度时，A球摩擦力反向；当A球摩擦力反向后达到最大静摩擦力时，两球相对轴滑动．

解答：解：（1）角速度从零开始逐渐增大，当较小时，A和B只靠自身静摩擦力提供向心力．B球先达到最大静摩擦力，然后绳子开始出现张力．
有：fm=m?2xω1 2
解得ω1=

fm 2mx

．
（2）当绳上出现张力后，角速度增大，张力增大，A球所受的摩擦力减小，当张力达到一定程度时，A球摩擦力反向．
有：fm+T=m?2xω22
T=mxω2 2
联立两式解得ω2=

fm mx

．
（3）当角速度从x₆继续增加时，A球所受的摩擦力方向将沿杆指向外侧，并随ω的增大而增大，直至f_A=f_m为止．设此时角速度为ω₃，并有如下情况：
A球                      T-fm=m

ω

2 3

x
B球                     fm+T=m

ω

2 3

2x
解之得                    ω3=

2fm mx

若角速度从ω₃继续增加，A和B将一起相对轴运动．
答：（1）绳中刚出现张力时ω1=

fm 2mx

．
（2）A球所受的摩擦力方向改变时ω2=

fm mx

．
（3）两球相对轴刚要滑动时ω3=

2fm mx

．

点评：解决本题的关键理清A、B球做圆周运动向心力的来源，以及能够通过A、B两球向心力的变化判断出小球受力的变化．