Question

17．为了测量某未知天体表面的重力加速度，半径和密度．宇航员驾驶一宇宙飞船贴其表面飞行，测得其周期为T．宇宙飞船着陆后，宇航员用弹簧测力计悬挂一质量为m的仪器并处于静止状态，测力计读数为F．已知引力常量为G．求：
（1 ）未知天体表面的重力加速度
（2）未知天体的半径
（3）未知天体的密度．

Answer 1

分析 （1）根据重力与质量的关系F=mg求解天体表面的重力加速度．
（2）宇宙飞船绕天体表面飞行时，由万有引力提供向心力，据此列式求解天体的半径．
（3）由质量与体积之比求天体的密度．

解答 解：（1）根据题意有：天体表面的重力加速度
   $g=\frac{F}{m}$…①
（2）设天体的质量为M，宇宙飞船的质量为m′．
对宇宙飞船有：$G\frac{Mm'}{R^2}=m'{（\frac{2π}{T}）^2}R$…②
在天体表面对一个质量为m₁的物体有：$G\frac{{M{m_1}}}{R^2}={m_1}g$…③
由①②③得 $R=\frac{{F{T^2}}}{{4{π^2}m}}$
（3）由①②③得$M=\frac{{{F^3}{T^4}}}{{16{π^4}{m^3}G}}$
$V=\frac{4}{3}π{R^3}$…④
M=ρV…⑤
得$ρ=\frac{3π}{{G{T^2}}}$
答：
（1）未知天体表面的重力加速度为$\frac{F}{m}$．
（2）未知天体的半径是$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．
（3）未知天体的密度是$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键要掌握万有引力等于向心力，以及重力等于万有引力，知道贴近天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径可以认为就是天体半径．