Question

6．一物体按规律x=bt³做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=o运动到x=a时阻力所做的功．

Answer 1

分析 根据速度的表达式v=$\frac{x}{t}$，及媒质阻力与速度的平方成正比，并对其积分，从而即可求解．

解答 解：物体的速度$v=\frac{dx}{dt}=（b{t}^{3}）$=3bt²．
媒质阻力${F}_{zu}=k{v}^{2}=k（3b{t}^{2}）^{2}=9k{b}^{2}{t}^{4}$，其中k为比例常数，k＞0．当x=0时，t=0；当x=a时，$t={t}_{1}=（\frac{a}{b}）^{\frac{1}{3}}$，
又ds=vdt，故克服阻力所作的功为
W_zu=$∫{F}_{zu}ds={∫}_{0}^{{t}_{1}}k{v}^{2}•vdt$=$k{∫}_{0}^{{t}_{1}}（3b{t}^{2}）^{3}dt$=$\frac{27}{7}k{b}^{3}{t}_{1}^{7}$=$\frac{27}{7}{k}^{3}\sqrt{{a}^{7}{b}^{2}}$
答：物体由x=o运动到x=a时阻力所做的功-$\frac{27}{7}{k}^{3}\sqrt{{a}^{7}{b}^{2}}$．

点评 本题主要考查定积分在物理中的应用：变力做功．