Question

20．如图甲所示，xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，周期均为2t₀，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向．t=0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O开始运动，此时速度大小为v₀，方向为+x轴方向．已知电场强度大小为E₀，磁感应强度大小B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$，不计粒子所受重力．求：
（1）t₀时刻粒子的速度大小v₁及对应的位置坐标（x₁，y₁）；
（2）为使粒子第一次运动到y轴时速度沿-x方向，B₀与E₀应满足的关系；
（3）t=4nt₀（n 为正整数）时刻粒子所在位置的横坐标x．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，采用正交分解法，根据分运动规律列式求解即可；
（2）使粒子第一次运动到y轴时速度沿-x方向，则圆心在y轴上，结合几何关系得到轨道半径，然后根据牛顿第二定律列式求解；
（3）有电场时粒子做类似平抛运动，只有磁场时粒子做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系列式分析．

解答 解：（1）在电场中运动，沿着x轴正方向有：x₁=v₀t₀，
沿着y轴正方向，有：v_y=at₀，y₁=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$，
由牛顿第二定律，有：qE₀=ma，
运动的速度大小v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}_{0}^{2}{t}_{0}^{2}}{{m}^{2}}}$，粒子的位置坐标为（v₀t₀，$\frac{{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{2m}$）；
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则：qv₁B₀=$\frac{4{π}^{2}m}{{T}^{2}}{r}_{1}$，
解得：T=2t₀；
则粒子第一次运动到y轴前的轨迹如图所示：

粒子在磁场中做圆周运动时，有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
圆心在y周期上，结合几何关系得到：r₁sinθ=v₀t₀，
且v₁sinθ=v₀，
解得：$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}={v}_{0}$；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期为2t₀，即在t₀～2t₀时间内粒子转了半圈，在x方向向左移动△x，2t₀时刻速度大小仍为v₁，方向与t₀时刻速度方向相反，在2t₀～3t₀时间内粒子做匀变速曲线运动，根据对称性可知，粒子运动轨迹与0～t₀时间内相同，3t₀时刻速度大小为v₀，方向沿着x轴负方向，在3t₀～4t₀时间内粒子转动半圈，4t₀时刻速度大小为v₀，方向沿着x正方向，如图所示；则0～4t₀时间内粒子在x方向向左移动的距离为△x；

$△x=2{r}_{1}sinθ=\frac{2{E}_{0}{t}_{0}}{{B}_{0}}$ 
则粒子的横坐标x=-n△x=-$\frac{2n{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{πm}$  （n=1，2，…）
答：（1）t₀时刻粒子的速度大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{q}^{2}{E}_{0}^{2}{t}_{0}^{2}}{{m}^{2}}}$，对应的位置坐标（v₀t₀，$\frac{{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{2m}$）；
（2）为使粒子第一次运动到y轴时速度沿-x方向，B₀与E₀应满足的关系$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}={v}_{0}$；
（3）t=4nt₀（n 为正整数）时刻粒子所在位置的横坐标x为-$\frac{2n{E}_{0}q{t}_{0}^{2}}{πm}$ （n=1，2，…）．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是运用几何知识求解坐标．