题目内容
如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化。现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示。已知曲线最低点的横坐标x0=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线。
（1）将小球乙从x1=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？
（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x0=20cm的位置？并写出必要的推断说明；
（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图(c)所示。将球乙从x2=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；
（4）在图(b)上画出第（3）问中小球乙的动能Ek与位置x的关系图线。
（1）1m/s；（2）见解析；（3）0.55m/s；（4）见解析。
解析:(14分)（1）球乙运动到x0=20cm位置时势能最少，速度最大，
能量守恒：， （1分）
解出 m/s=1m/s （1分）
（2）在0<x<6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x0。 （1分）
原因： 在0<x<20cm区间内两球之间作用力为排斥力，在20cm <x<∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能均为0.28J。若小球乙的静止释放点在6cm <x<∞区间，小球乙将做往复运动，多次经过x0=20cm的位置。而静止释放点在0<x<6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会运动到无穷远处而无法返回，只能经过x0位置一次。 （2分）
（3）x3=12cm处的切线斜率J/m=2J/m ，
表明此处乙球受到甲球2N的排斥力， （1分）
乙球此处受到重力的分力mgsinα=…=2N
所以，乙球在x3=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大， （1分）
从图中读出x3=12cm处的势能Ep3=0.1J，x2=6cm处的势能Ep2=0.28J， （1分）
能量守恒：， （1分）
解出=
=……=
m/s =0.55m/s （1分）
（4）作图要求：
三个关键点的位置正确：
x2=6cm处的动能Ek=0； （1分）
x3=12cm处的动能Ek=0.06J； （1分）
x4=20cm处的动能Ek=0 （1分）
曲线要求平滑，斜率变化正确。 （1分）
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