Question

13．如图所示，一小物体放在小车上，它们一起在水平放置的箱子中运动，小车长为L，小车质量为M，小物体质量为m=$\frac{M}{2}$，小物体与小车间的动摩擦因数为μ，小车与箱底之间无摩擦，箱子固定于水平地面上，小车与箱子两壁碰后，速度反向，速率不变，开始时小车靠在箱子的左壁，小物体位于小车的最左端，小车与小物体以共同速度v₀向右运动，已知箱子足够长，试求：
（1）小物体不从小车上掉落下的条件；
（2）若上述条件满足，求小车与箱壁第n+1次碰撞前系统损失的机械能；
（3）小物体相对于小车滑过的总路程；
（4）若m=2M，则小物体不从小车上掉落下的条件．

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞后，小物体与小车的相对速度最大，若第一碰撞后小物体不从小车上掉落，则以后就不会掉落．根据动量守恒定律和能量守恒定律结合解答．
（2）运用归纳法得到第1次、第2次…第n次碰撞后小物体与小车的共同速度，再由能量守恒定律求小车与箱壁第n+1次碰撞前系统损失的机械能；
（3）经过无数次碰撞后，小物体和小车最终将停在箱子左壁处，根据功能关系求小物体相对于小车滑过的总路程；
（4）若m=2M，小物体和小车最终将停在箱子右壁处，再由功能关系求小物体不从小车上掉落下的条件．

解答 解：（1）小物体一箱壁第1次碰撞到小物体与小车有共同速度v₁．取向左为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律得：
   Mv₀-mv₀=（M+m）v₁ ①
   μmgx₁=$\frac{1}{2}$（M+m）v₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁² ②
将m=$\frac{M}{2}$，代入解得：
  v₁=$\frac{M-m}{M+m}$v₀=$\frac{1}{3}$v₀
第一次碰后，小物体相对小车向右滑行的距离 x₁=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$
同理，第二次碰后，小物体相对小车向左滑行的距离 x₂=$\frac{4{v}_{1}^{2}}{3μg}$=$\frac{1}{9}•$$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$＜x₁
所以第一次碰撞后小物体不落下，以后都不会掉落下，即小物体不掉落下小车的条件是：x₁≤L
解得：L≥$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$．
（2）与①式同理可得，第二次碰后小物体与小车有共同速度 v₂=$\frac{M-m}{M+m}$v₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$v₀
  …
第n次碰后小物体与小车有共同速度 v_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$v₀
…
所以，小车与箱壁第n+1次碰撞前系统损失的机械能△E=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{n}^{2}$=$\frac{3}{4}$Mv₀²（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）
（3）当经过无数次碰撞后，小物体和小车最终将停在箱子左壁处，根据功能关系得
  μmgs=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$
解得，小物体相对于小车滑过的总路程 s=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（4）若m=2M，每一次碰后小物体均向右滑行一段距离，经过无数次碰撞后，小车最终将停在箱子右壁处，再由功能关系得
  μmgs=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$
将m=2M，代入解得 s=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4μg}$
小物体不掉落的条件为：L≥s
即得 L≥$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4μg}$
答：
（1）小物体不从小车上掉落下的条件是L≥$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$；
（2）若上述条件满足，小车与箱壁第n+1次碰撞前系统损失的机械能是$\frac{3}{4}$Mv₀²（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）；
（3）小物体相对于小车滑过的总路程是$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（4）若m=2M，则小物体不从小车上掉落下的条件是 L≥$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4μg}$．

点评 正确应用动量守恒和功能关系列方程是解决这类问题的关键，尤其是弄清相互作用过程中的功能关系，运用数学归纳法总结出碰后共同速度的规律．