Question

18．如图所示，光滑斜面倾角为θ，底端固定一垂直于斜面的挡板C．在斜面上放置长木板A，A的下端与C的距离为d，A的上端放置小物块B（可视为质点），A与B质量相等，A、B间的动摩擦因数μ=1.5tanθ．现同时由静止释放A和B，A与C发生碰撞的时间极短，碰撞前后速度大小相等，方向相反．运动过程中，小物块始终没有从木板上滑落，已知重力加速度为g．求：
（1）A与C发生第一次碰撞前瞬间的速度大小v₁；
（2）A与C发生第一次碰撞后上滑到最高点时，小物块的速度大小v₂；
（3）为使B不与C碰撞，木板A长度的最小值L．

Answer 1

分析 （1）AB一起下滑的过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒，据此列式求解A与C发生第一次碰撞前瞬间的速度大小v₁；
（2）木板上升时，对A、B分别运用由牛顿运动定律列式求解加速度，可得到A的加速度大于B的加速度大小，说明A的速度先减至零．再速度时间公式求解v₂；
（3）由于不断的上滑和碰撞，最终A和B恰好都停在C上时，对全过程，运用能量守恒求解L的最小值．

解答 解：（1）第一次碰撞前由机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$（m+m）v₁²=2mgdsinθ                              
解得：v₁=$\sqrt{2gdsinθ}$                                    
（2）设发生第一次碰撞后，A上滑、B下滑的加速度大小分别为a_A、a_B，则由牛顿第二定律有：
对木板A：μmgcosθ+mgsinθ=ma_A                                  
对小物块B：μmgcosθ-mgsinθ=ma_B                                  
由于a_A＞a_B，则A先减速到零，设A第一次碰撞后上滑到最高点的时间为t，则
v₁=a_At     v₂=v₁-a_Bt                                  
联立解得：v₂=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gdsinθ}$                              
（3）对于A、B运动全过程，由能量守恒定律有：
mgdsinθ+mg（d+L）sinθ=μmgLcosθ                        
解得：L=4d  
答：（1）A与C发生第一次碰撞前瞬间的速度大小为$\sqrt{2gdsinθ}$；
（2）A与C发生第一次碰撞后上滑到最高点时，小物块的速度大小为$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gdsinθ}$；
（3）为使B不与C碰撞，木板A长度的最小值为4d．

点评 在应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题时，要注意运动过程的分析，此类问题，还要对整个运动进行分段处理．对于板长，往往根据能量守恒求解．