Question

11．如图所示为某种透明介质的截面图，△AOC为等腰直角三角形，BC为半径R=10cm的四分之一圆弧，AB与水平屏幕MN垂直并接触于A点．由红光和紫光两种单色光组成的细束复色光射向圆心O，在AB分界面上的入射角i=45°，结果在水平屏幕MN上出现两个亮斑，左右亮斑分别为P₁、P₂．假设该介质对红光和紫光的折射率分别为n₁=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，n₂=$\sqrt{2}$．
（1）判断P₁、P₂两处产生亮斑的颜色；
（2）求两个亮斑间的距离P₁P₂．

Answer 1

分析 （1）由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$可求出红光与紫光的临界角，则可判断是否能发生全反射，则可得出两亮斑的颜色；
（2）由折射定律求出折射角，由几何知识可求得两光斑的距离P₁P₂．

解答 解：（1）设该介质对红光和紫光的临界角分别为C₁、C₂，则
 sinC₁=$\frac{1}{n_1}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得C₁=60°
同理 C₂=45°
因为i=45°=C₂，i=45°＜C₁
所以紫光在AB面发生全反射，而红光在AB面一部分折射，一部分反射，且由几何关系可知，反射光线与AC垂直，所以亮斑P₁为红色，亮斑P₂为红色与紫色的混合色．
（2）画出如图光路图，设折射角为r，根据折射定律有

n₁=$\frac{sinr}{sini}$
得sinr=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
由几何知识可得 tanr=$\frac{R}{{A{P_1}}}$
解得AP₁=5$\sqrt{2}$cm
由几何知识可得△AOP₂为等腰直角三角形
解得 AP₂=10cm
所以P₁P₂=（5$\sqrt{2}$+10）cm
答：
（1）亮斑P₁为红色，亮斑P₂为红色与紫色的混合色．
（2）两个亮斑间的距离P₁P₂为（5$\sqrt{2}$+10）cm．

点评 本题首先要能正确作出光路图，掌握全反射的条件，并能正确应用几何关系和折射定律结合进行解题．