题目内容
1．
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．（1）如果物块P恰好能够到达D点，则物块的质量为多少．
（2）如果P的质量为m，其他条件不变，而导轨半径R的大小不确定，则当R为多大时，小球上升到最高点后落回水平面时，落地点与B点间距离最大．
分析 （1）先研究弹簧竖直的情况，根据系统的机械能守恒求出弹簧最大的弹性势能．弹簧如图放置时，由于弹簧的压缩量等于竖直放置时的压缩量，两种情况弹簧的弹性势能相等．物块P恰好能够到达D点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出D点的速度．由能量守恒定律列式，可求出物体P的质量．
（2）根据能量守恒定律求出物块P到达D点的速度．由平抛运动的规律得到落地点与B点间距离与R的关系式，再由数学知识求解．
解答 解：（1）将弹簧竖直放置在地面上，物体下落压缩弹簧时，由系统的机械能守恒得：
Ep=5mgl
如图，物块P从弹簧释放到D点的过程，根据能量守恒定律得：
Ep=μmPg•4l+$\frac{1}{2}{m}_{P}{v}_{D}^{2}$+2mPgl
物块P恰好能够到达D点，有：mPg=mP$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
联立解得物块的质量为：mP=$\frac{10}{9}$m
（2）如果P的质量为m，物块P从弹簧释放到D点的过程，根据能量守恒定律得：
Ep=μmg•4l+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$+2mgR
根据平抛运动的规律有：
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
S=vD′t
联立可得，小球落地点与B点间距离为：S=2$\sqrt{2R（3l-2R）}$
根据数学知识可知，当2R=3l-2R，即 R=$\frac{3}{4}$l时，S有最大值．
答：（1）如果物块P恰好能够到达D点，则物块的质量为$\frac{10}{9}$m．
（2）当R为$\frac{3}{4}$l时，小球上升到最高点后落回水平面时，落地点与B点间距离最大．
点评 解决本题时要抓住弹簧的形变量相等时弹性势能相等这一隐含的条件，正确分析能量是如何转化，分段运用能量守恒定律和平抛运动的规律列式是关键．
| A． | 有弹力一定有摩擦力 | |
| B． | 有摩擦力不一定有弹力 | |
| C． | 弹力方向和摩擦力方向一定互相垂直 | |
| D． | 摩擦力的大小与弹力大小总是成正比 |
| A． | 若为匀加速运动，则v1=v2＜v3 | B． | 若为匀加速运动，则v1＜v2＜v3 | ||
| C． | 若为匀减速运动，则v1=v2＜v3 | D． | 若为匀减速运动，则v1＞v2＞v3 |
如图所示，光滑的$\frac{1}{4}$圆弧的半径为R=0.8m，有一个可视为质点的质量为m=1kg的物体，从A点从静止开始下滑到B点，然后沿水平面运动到C点静止，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=0.2，g取9.8m/s2，求：
如图所示，光滑水平面AB与竖直面内光滑的半圆形固定导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬时对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动到最当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C．不计空气阻力．| A． | 重的物体下落的加速度大 | |
| B． | 同一地点，轻、重物体下落的加速度一样大 | |
| C． | 自由落体运动速度变化越来越快 | |
| D． | 自由落体运动在相同的时间里位移相等 |
汽车发动机的额定功率为60kW，在平直公路上行驶的最大速度为12m/s，汽车质量为5000kg，若汽车从静止开始先做加速度为0.5m/s2的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，又运动了80米，速度达到最大．（设运动过程中阻力不变），试求：