Question

11．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳恰好断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为$\frac{3}{4}d$，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．
（1）求绳断时球的速度大小V
（2）问绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动（握绳的手离地面高度为d不变），若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

Answer 1

分析 （1）绳断后，小球做平抛运动，根据平抛运动的高度求出时间，根据水平位移和时间求出绳断时球的速度大小．
（2）根据在最低点，合力提供向心力，运用牛顿第二定律求出最大拉力．
（3）先根据牛顿第二定律求解最低点速度，然后根据平抛运动的分位移公式列式表示射程，对公式分析求解最大值．

解答 解：（1）设绳断后球做平抛运动的时间为t₁，
竖直方向上：$\frac{1}{4}$d=$\frac{1}{2}$gt₁²，
水平方向上：d=v₁t₁
解得：v₁=$\sqrt{2gd}$．
（2）设绳能承受的最大拉力为F_m．
球做圆周运动的半径为：R=$\frac{3}{4}$d
F_m-mg=m $\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：F_m=$\frac{11}{3}$mg
（3）在圆周的最低点，有：F_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
平抛运动，有：d-l=$\frac{1}{2}$gt²
s=vt
联立解得：s=$\sqrt{\frac{16l（d-l）}{3}}$，当l=d-l时，即绳长为$\frac{d}{2}$时，s最大为$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$
答：（1）绳断开时小球的速度为$\sqrt{2gd}$；
（2）绳能承受的最大拉力为$\frac{11}{3}$mg；
（3）绳长为$\frac{d}{2}$时，s最大为$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$．

点评 本题综合了平抛运动和圆周运动两个运动，关键知道平抛运动在竖直方向和水平方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．