Question

16．如图，真空中有一对竖直放置的平行金属板，两板之间的距离为d，在O点用长为l的绝缘轻绳系着质量为m的带电小球．当两板之间加上电压U后，小球自O点正下方的A点开始向上运动到B点，之后又向下运动到A点，…如此往复．已知OB与竖直方向的夹角α=60°，重力加速度大小为g，求（结果可以用根式表示）
（1）小球所带的电荷量q；
（2）小球的动能最大时轻绳与竖直方向的夹角θ为多少？最大动能E_km为多少？

Answer 1

分析 （1）小球自A点运动到B点，由动能定理列方程求解；
（2）小球由A运动到动能最大处，由动能定理列方程，根据数学知识求解极值即可．

解答 解：（1）设平行金属板内匀强电场的电场强度为E，小球自A点运动到B点，由动能定理
qElsinα-mgl（1-cosα）=0，
而E=$\frac{U}{d}$
解得：q=$\frac{\sqrt{3}mgd}{3U}$；
（2）小球由A运动到动能最大处，由动能定理可得：
qElsinθ-mgl（1-cosθ）=E_km
即E_km=mgl（$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+cosθ-1）
而$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（θ+60°）
故小球有最大动能时，θ=30°
最大动能$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$mgl．
答：（1）小球所带的电荷量为$\frac{\sqrt{3}mgd}{3U}$；
（2）小球的动能最大时轻绳与竖直方向的夹角θ为30°；最大动能E_km为$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$mgl．

点评 有关带电粒子在匀强电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答．