Question

3．足够长水平传送带以恒定速度v₀=5m/s运行．将一块底面水平的粉笔轻轻地放到传送带上，粉笔与传送带动摩擦因数为0.25，1秒后因传动装置受到阻碍，传送带做匀减速运动，其加速度a₀=5m/s²，求最终粉笔在皮带上留下的痕迹长．

Answer 1

分析 粉笔轻轻地放到传送带上，第1秒粉笔做匀加速直线运动，皮带匀速运动，粉笔相对皮带向左运动；1s后皮带受阻，粉笔继续匀加速，皮带匀减速，粉笔相对皮带向左运动；当粉笔速度等于传送带速度时，因为粉笔的加速度小于传送带的加速度的大小，粉笔相对皮带开始向右运动，求出粉笔相对皮带的位移即可求出痕迹长

解答 解：对粉笔，根据牛顿第二定律，有
μmg=ma
得$a=μg=0.25×10=2.5m/{s}_{\;}^{2}$
经1s粉笔速度${v}_{1}^{\;}=at=2.5×1m/s=2.5m/s$
粉笔位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{1}_{\;}^{2}=1.25m$
皮带位移${x}_{2}^{\;}={v}_{0}^{\;}t=5×1m=5m$
此过程粉笔相对传送带的位移$l={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=5m-1.25m=3.75m$，方向向左
因皮带受阻，做${a}_{0}^{\;}=5m/{s}_{\;}^{2}$的匀减速运动，经时间t′粉笔与皮带速度相等
${v}_{1}^{\;}+at′={v}_{0}^{\;}-{a}_{0}^{\;}t′$
代入数据：v=2.5+2.5t′=5-5t′
解得：$t′=\frac{1}{3}s$      $v=\frac{10}{3}m/s$
在t′时间内，粉笔的位移${x}_{3}^{\;}={v}_{1}^{\;}t′+\frac{1}{2}at{′}_{\;}^{2}=\frac{35}{36}m$
皮带的位移${x}_{4}^{\;}={v}_{0}^{\;}t′-\frac{1}{2}{a}_{0}^{\;}t{′}_{\;}^{2}$=$\frac{25}{18}m$
在t′时间内粉笔相对于传送带向左的位移$l′={x}_{4}^{\;}-{x}_{3}^{\;}=\frac{25}{18}m-\frac{35}{36}m=\frac{5}{12}m$
因${a}_{0}^{\;}＞a$，速度相等后，粉笔在传送带上继续滑行，且皮带比粉笔先停下，粉笔还能在皮带上做相对滑动，粉笔相对皮带滑动的距离
$l″={s}_{粉笔}^{\;}-{s}_{皮带}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2a}-\frac{{v}_{\;}^{2}}{2{a}_{0}^{\;}}$=$\frac{10}{9}m$
因为l″＜l+l′
所以粉笔在皮带上留下的痕迹长$l+l′=3.75m+\frac{5}{12}m$=$\frac{25}{6}m$
答：最终粉笔在皮带上留下的痕迹长$\frac{25}{6}m$

点评 该题是相对运动的典型例题，要认真分析两个物体的受力情况，正确判断两物体的运动情况，要清楚两者速度相等时后是否继续发生相对滑动，两者间的距离可根据运动学基本公式求解，难度适中．