题目内容

（2007?连云港三模）如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如图，g取10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球的最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？
分析：（1）由机械能守恒及分别对A点和B点由向心力公式可求得压力差与距离x的关系式，则可由图象的截距求得物体的质量；
（2）由图象的斜率可求得光滑圆轨道的半径，由机械能守恒定律及竖直面内的圆周运动临界值可求得x的最大值．
解答：解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律：
1
2
mvB2=mg(2R+x)+
1
2
mvA2   ①
对B点有：FN1-mg=m
vB2
R
    ②
对A点有：FN2+mg=m
vA2
R
    ③
由①②③式得：两点的压力差：△FN=FN1-FN2=6mg+
2mgx
R
  ④
由图象得：截距  6mg=6，得m=0.1kg
物体的质量为0.1kg；
（2）由④式可知：因为图线的斜率k=
2mg
R
=1
所以R=2m   ⑤
在A点不脱离的条件为：vA≥
gR
 ⑥
由①⑤⑥三式和题中所给已知条件解得：x=15m
x的最大值为15m．
答：（1）小球的质量m是0.1kg；
（2）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x最大值为15m．
点评：本题考查机械能守恒的应用及竖直面内的圆周运动的临界值的应用，此类题型为常见题型，应熟练掌握．
练习册系列答案
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